3京都大学 2018年 数学 第3問解答・解説

円周上の順に弧AB, BC, CD, DAの中心角をそれぞれ $x,y,z,w$ とする。円周角の定理から $$z+w=2\alpha,\qquad y+z=2\alpha,$$ したがって $y=w=2\alpha-z$ である。$u=\alpha-z/2$ とおけば $0<u<\alpha$、かつ $y/2=w/2=u,\ z/2=\alpha-u,\ x/2=\pi-\alpha-u$ である。

半径1の円の弦の長さは中心角の半分の正弦の2倍なので、 $$k=16\sin(x/2)\sin(y/2)\sin(z/2)\sin(w/2) =16\sin(\alpha+u)\sin^2u\sin(\alpha-u).$$ ここで $v=\sin^2u$ とおくと $0<v<\sin^2\alpha$ であり、積和の恒等式より $$k=16v(\sin^2\alpha-v).$$ 右辺は $v=\sin^2\alpha/2$ で最大となり、その値を与える $0<u<\alpha$ を満たす $u$ は実際に取れる。よって最大値は $4\sin^4\alpha$。

弧の中心角を置き、円周角の定理で二つの弧を等しくする。弦長公式で積を一変数の二次式に変換し、最大点が許容範囲内にあることまで確認した。旧答案の結論と一致。