1京都大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 接点を $(t,at^2)$ とすると、接線の傾きの一致と共有点条件より $$at=b(t-1),\qquad at^2=b(t-1)^2+c.$$ $a\ge(1+c^2)/2>0$ であり、$t=1$ は第1式に矛盾する。第1式を第2式へ代入して $at=c$。よって接点は $$\displaystyle \boxed{\left(\frac ca,\frac{c^2}a\right)}.$$ また $c\ne0$ から $t\ne0$、$b=ac/(c-a)$ なので $c\ne a$ である。

(2) 接点の座標を $(x,y)$ とする。$x\ne0,y>0$ であり、$a=y/x^2,c=y/x$。条件 $1+c^2\le2a$ は $$x^2+y^2\le2y,\quad\text{すなわち }x^2+(y-1)^2\le1$$ となる。また $c\ne a$ は $x\ne1$ と同値。この円板で $x=1$ の点は $(1,1)$ だけである。 逆に、この円板の $y$ 軸上の点と $(1,1)$ を除いた任意の点について、$a=y/x^2,c=y/x,b=ac/(c-a)$ と定めれば、全て0でなく元の不等式を満たし、2放物線はその点で接する。 したがって、求める範囲は $$\boxed{x^2+(y-1)^2\le1,\qquad x\ne0}$$ をともに満たす点$(x,y)$のうち、点$(1,1)$を除いた部分である。 図では中心 $(0,1)$、半径1の閉円板を塗り、$y$ 軸との共通部分を除く。さらに右端 $(1,1)$ を白丸で除く。