筑波大学 2007年数学第5問解答・解説

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1問題

筑波大学2007年度第5問

$a \neq 0$ とする。 $A = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ に対して，2次正方行列 $P$ が

$P A = A + B, P B = A - B$

を満たしている。

(1) a と b を用いて P を表し, P が逆行列 $P^{-1}$ をもつことを示せ。

(2) $\displaystyle \binom{s}{t} = P^{-1}B$ とおく。 $xy$ 平面において，点 $(a, b)$ が放物線 $x = y^2 + 2$ 上を動くとき，点 $(s, t)$ の軌跡を求めよ。ただし， $|y| \leq 1$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad P=\begin{pmatrix}-b-1&a\\\frac{1-2b-b^2}{a}&b+1\end{pmatrix}\quad$ 。任意の右辺に対して $\displaystyle \quad P\binom{x}{y}=\binom{u}{v}\quad$ は一意に解けるため $\quad P^{-1}\quad$ が存在する。
(2) $\quad (s,t)=(-a/2,(1-b)/2)\quad$ 。したがって軌跡は $\displaystyle \quad s=-1-\frac12(1-2t)^2\quad$ （ $\quad 0\le t\le1\quad$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $P=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおく。 $PA=A+B$ より $q=a,s=b+1$ 。また $PB=A-B$ より $ap+ab=-a,\qquad ar+b(b+1)=1-b.$ $a\ne0$ なので $\boxed{P=\begin{pmatrix}-b-1&a\\(1-2b-b^2)/a&b+1\end{pmatrix}}.$ この行列を2回掛けると、非対角成分は0、対角成分はいずれも $(b+1)^2+(1-2b-b^2)=2$ となる。従って $P^2=2E$ 、すなわち $P(P/2)=(P/2)P=E$ だから $\boxed{P^{-1}=P/2}.$ (2) $PB=A-B$ と上の結果から $\displaystyle \binom{s}{t}=P^{-1}B=\frac{A-B}{2} =\binom{-a/2}{(1-b)/2}.$ $a=b^2+2,-1\le b\le1$ より $s=-1-b^2/2$ 、 $b=1-2t$ 、 $0\le t\le1$ 。従って軌跡は $\displaystyle \boxed{s=-1-\frac12(1-2t)^2,\qquad0\le t\le1}.$ 逆にこの範囲の $t$ から $b=1-2t$ 、 $a=b^2+2$ を選べば原条件を満たすので、示した部分全体が得られる。

この問題で使う考え方

成分の連立方程式
行列積の直接計算
媒介変数の消去

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