4京都大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle \omega=\dfrac{-1+\sqrt3 i}{2}=e^{2\pi i/3}$ とおくと $\omega^3=1$ である。各回の後の複素数を $z_k=\omega^{a_k}$（$a_k=0,1,2$）と表す。表なら $a_k\equiv a_{k-1}+1\pmod3$、裏なら共役を取るので $a_k\equiv-a_{k-1}\pmod3$ である。1回目の後は表裏が等確率だから、状態 $0,1,2$ の確率を $p_1,q_1,r_1$ とすると $p_1=q_1=1/2,\ r_1=0$。

$k$ 回後の状態確率を $p_k,q_k,r_k$ とする。状態 $0$ と $2$ からは、それぞれ表裏のどちらか一方で状態 $0$、もう一方で状態 $1$ へ移り、状態 $1$ からは表裏のいずれでも状態 $2$ へ移る。よって $$\displaystyle p_{k+1}=q_{k+1}=\frac{p_k+r_k}{2},\qquad r_{k+1}=q_k.$$ 特に $p_1=q_1$ であり、漸化式からすべての $k$ で $p_k=q_k$。また $p_k+q_k+r_k=1$ より $r_k=1-2p_k$ だから $$\displaystyle p_{k+1}=\frac{1-p_k}{2}.$$ この一次漸化式を定数で満たす値は $1/3$ であり、$p_{k+1}-1/3=-(p_k-1/3)/2$。したがって $$\displaystyle p_n=\frac13+\left(\frac12-\frac13\right)\left(-\frac12\right)^{n-1} =\frac13+\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1} =\frac{2^n+(-1)^{n-1}}{3\cdot2^n}.$$ $z_n=1$ は $a_n\equiv0\pmod3$ と同値なので、これが求める確率である。