1熊本大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=(3,-3,0),\ \overrightarrow{AC}=(t-1,2t-5,t-1),\ \overrightarrow{BC}=(t-4,2t-2,t-1)$ である。

(問1) 三角形が直角三角形になるのは、いずれかの頂点で隣り合う2辺の内積が0となるときである。

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3(t-1)-3(2t-5)=12-3t$ より、Aで直角となるのは $t=4$ である。また、$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-3(t-4)+3(2t-2)=3t+6$ より、Bで直角となるのは $t=-2$ である。さらに、$\overrightarrow{CA}=(1-t,5-2t,1-t)$ を用いると、$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3(2t-5)(t-1)$ だから、Cで直角となるのは $\displaystyle t=1,\frac{5}{2}$ である。$\overrightarrow{AB}\ne\vec{0}$ であり、$\overrightarrow{AC}$ がこれと平行になるには第3成分から $t=1$ が必要だが、そのとき $\overrightarrow{AC}=(0,-3,0)$ は $\overrightarrow{AB}$ と平行でない。よって三点A,B,Cは常に一直線上になく、以上の値はいずれも直角三角形を与える。

(問2) $\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$ である。$(1,1,-1)$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ の両方に垂直なので、A,B,Dを通る平面の方程式は $x+y-z=6$ である。A,B,Dは一直線上にないからこの平面は一意に定まる。Cがこの平面上にある条件は $t+2t-(t-1)=6$、すなわち $2t+1=6$ である。したがって $\displaystyle t=\frac{5}{2}$。

(問3) $\angle BAC$ が直角となるのは (問1) より $t=4$ のときである。このとき $\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$ であり、$(1,1,-2)$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であるから、平面ABCは $x+y-2z=6$ と表せる。Dを通りこの平面に垂直な直線上の点を $D+s(1,1,-2)$ とおくと、その点が平面ABC上にある条件は $5+6s=6$ である。よって $\displaystyle s=\frac{1}{6}$ であり、Dから平面ABCまでの高さは $\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{1+1+4}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ となる。一方、$|AB|=3\sqrt{2},\ |AC|=3\sqrt{3}$ で、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ だから、底面ABCの面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{6}}{2}$ である。したがって四面体ABCDの体積は $\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{3}{2}$。