3熊本大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$z=x+iy$ とし，$d_+=|z+i|$，$d_-=|z-i|$ とおく。条件より $d_+-d_-=1$ であり，$d_+^2-d_-^2=4y$ だから，$(d_+-d_-)(d_++d_-)=4y$ より $d_++d_-=4y$ である。したがって $\displaystyle d_+=2y+\frac12$，$\displaystyle d_-=2y-\frac12$ となる。$d_+^2=x^2+(y+1)^2$ に代入すると $\displaystyle 3y^2-x^2=\frac34$ を得る。この式から $\displaystyle y^2=\frac{x^2}{3}+\frac14\ge\frac14$ であり，$y>0$ より $\displaystyle y\ge\frac12$ である。逆に，$\displaystyle 3y^2-x^2=\frac34$，$\displaystyle y\ge\frac12$ ならば $\displaystyle |z+i|^2=(2y+\frac12)^2$，$\displaystyle |z-i|^2=(2y-\frac12)^2$ であるから $|z+i|-|z-i|=1$ となる。よって $H$ は $\displaystyle 3y^2-x^2=\frac34$，$\displaystyle y\ge\frac12$ で表される。

$z=\rho(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$（$\rho>0$）とすると，$\displaystyle 3y^2-x^2=\frac34$ より $\displaystyle \rho^2(3\sin^2\theta_1-\cos^2\theta_1)=\frac34$ である。左辺の括弧内は $4\sin^2\theta_1-1$ であり，$\displaystyle y\ge\frac12$ より $\sin\theta_1>0$ なので，$\displaystyle \sin\theta_1>\frac12$ が必要である。またこの範囲の任意の $\theta_1$ に対して $\displaystyle \rho^2=\frac{3}{4(4\sin^2\theta_1-1)}$ と定めると，$\displaystyle y^2=\frac{3\sin^2\theta_1}{4(4\sin^2\theta_1-1)}\ge\frac14$ であり，$y>0$ より $\displaystyle y\ge\frac12$ となるので，実際に$H$の点が得られる。したがって $0\le\theta_1<2\pi$ のもとで $\displaystyle \frac{\pi}{6}<\theta_1<\frac{5\pi}{6}$ である。

$D=3\sin^2\theta_1-\cos^2\theta_1$ とおくと，この角度範囲で $0<D\le3$ となり，$D$ は連続的にその全範囲の値をとる。よって $\displaystyle \rho^2=\frac{3}{4D}$ より $\displaystyle \frac12\le\rho<\infty$ であり，$\displaystyle r_2=|w|=\frac1{|z|}=\frac1\rho$ だから $0<r_2\le2$ である。さらに $\displaystyle w=\frac1z=\frac1\rho(\cos\theta_1-i\sin\theta_1)$ なので，$0\le\theta_2<2\pi$ における偏角は $\theta_2=2\pi-\theta_1$ である。したがって $\displaystyle \frac{7\pi}{6}<\theta_2<\frac{11\pi}{6}$ となる。