1神戸大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $|z|=1$ だから、ある実数 $\theta$ を用いて $$\displaystyle z=\cos\theta+i\sin\theta,\qquad \frac1z=\cos\theta-i\sin\theta$$ と表せる。したがって $$\displaystyle w=\frac12\left(z+\frac1z\right)=\cos\theta,$$ よって $u=\cos\theta,\ v=0$ である。$\theta$ を動かすと $\cos\theta$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとり、端点も含む。求める軌跡は、実軸上の線分 $$v=0,\qquad -1\le u\le 1$$ である。

(2) 偏角が $\alpha$ の半直線上の複素数は、$r>0$ として $$z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$ と表せる。ここで $0<\alpha<\pi/2$ なので $\sin\alpha>0$ かつ $\cos\alpha>0$ であり、 $$\displaystyle \frac1z=\frac1r(\cos\alpha-i\sin\alpha).$$ 実部と虚部を比較すると $$\displaystyle u=\frac{\cos\alpha}{2}\left(r+\frac1r\right),\qquad v=\frac{\sin\alpha}{2}\left(r-\frac1r\right)\qquad (r>0).$$ この二式から $$\displaystyle \frac{u^2}{\cos^2\alpha}-\frac{v^2}{\sin^2\alpha} =\frac14\left\{\left(r+\frac1r\right)^2-\left(r-\frac1r\right)^2\right\}=1.$$ また $r+1/r\ge 2$ であるから $u\ge\cos\alpha$ である。等号は $r=1$ のときに限り、そのとき $v=0$ となる。したがって軌跡は $$\displaystyle \frac{u^2}{\cos^2\alpha}-\frac{v^2}{\sin^2\alpha}=1, \qquad u\ge\cos\alpha$$ で表される双曲線の右側の枝であり、頂点 $(\cos\alpha,0)$ を含む。

この条件が右側の枝全体を表すことも確かめる。上の式と $u\ge\cos\alpha>0$ より $$\displaystyle \frac{u}{\cos\alpha}=\sqrt{1+\left(\frac{v}{\sin\alpha}\right)^2}.$$ 任意のこの枝上の点に対して $$\displaystyle r=\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}$$ とおくと、$\sqrt{1+t^2}>|t|$（$t=v/\sin\alpha$）だから $r>0$ である。また双曲線の式から $$\displaystyle \left(\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}\right) \left(\frac{u}{\cos\alpha}-\frac{v}{\sin\alpha}\right)=1,$$ よって $1/r=u/\cos\alpha-v/\sin\alpha$ である。この二式を加減すれば先の $u,v$ の表示が得られ、その点は実際に元の半直線上のある $z$ から生じる。したがって左側の枝は含まず、右側の枝全体が軌跡である。

図では (2) の形を $\alpha=\pi/4$ の場合で代表して示した。実際の軌跡は任意の $0<\alpha<\pi/2$ に対する上記の右側の枝である。