5神戸大学 2002年 数学 第5問解答・解説

(1) 引いた数字の集合を1つ固定すると、その $k$ 個の数字を並べる順序は $k!$ 通りある。元に戻さず引く全順序はどれも同じ確率で、各集合に対する並べ方も同様に確からしい。そのうち小さい順は1通りだけなので $$\displaystyle p=\frac1{k!}.$$ 全体から数えても、順序付きの取り方は $\,{}_N P_k$ 通り、有利な取り方は $\displaystyle \binom Nk$ 通りであり $$\displaystyle p=\frac{\binom Nk}{{}_N P_k} =\frac{\binom Nk}{\binom Nk\,k!} =\frac1{k!}.$$

(2) 最初の $i$ 枚の順序付きの取り方はどれも同じ確率である（どの取り方にも後続の引き方は同数ある）。この $i$ 枚の数字を小さい順に $a_1<a_2<\cdots<a_i$ と固定する。条件を満たすには、最後の $x_i$ が $a_1,\ldots,a_{i-1}$ のどれかでなければならない。そう選ぶと、残る $i-1$ 枚を小さい順に並べる方法は1通りで、最後の値より直前の値が大きくなる。最後が最大の $a_i$ なら、直前は $a_{i-1}<a_i$ となり条件に合わない。よって該当する並べ方は $i-1$ 通り、全体は $i!$ 通りなので $$\displaystyle q_i=\frac{i-1}{i!}.$$

(3) $E_i$ を(2)の事象とする。$i<j$ のとき、$E_j$ は最初の $j-1$ 枚が小さい順であることを要求するので、最初の下降が $i$ 枚目に起こる $E_i$ とは同時に起こらない。従って各事象は互いに排反であり、得点 $X$ の期待値は $$\displaystyle \begin{aligned} \mathbb E[X] &=\sum\limits _{i=2}^{5} i q_i\\ &=2\cdot\frac12+3\cdot\frac{2}{3!} +4\cdot\frac{3}{4!}+5\cdot\frac{4}{5!}\\ &=1+1+\frac12+\frac16 =\frac83\text{点}. \end{aligned}$$