4神戸大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(1)　 f(x) が x=a において微分可能であるとは、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to a}$$\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ が有限な実数として存在することをいう。この極限値を f'(a) とする。　 (2)　 (ii) が正しい。反例として f(x)=|x-a| をとる。このとき f(a)=0 であり、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to a}$f(x)=$\displaystyle \lim\limits _{x\to a}$|x-a|=0=f(a) だから f は x=a で連続である。一方、h$\ne$0 に対して $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$=$\displaystyle \frac{|h|}{h}$ =$$\begin{cases}1&(h>0),\\-1&(h<0)\end{cases}$$ である。右極限と左極限が異なるので、この差商の極限は存在せず、f は x=a で微分可能ではない。　 (3)　 (1) の定義を用いる。h$\ne$0 として、加法定理より $\displaystyle \frac{\cos(a+h)-\cos a}{h}$ =$\cos$ a $\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}$-$\sin$ a $\displaystyle \frac{\sin h}{h}$. ここで、基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{t\to0}$$\displaystyle \frac{\sin t}{t}$=1 を用いる。この基本極限は、ラジアン表示で 0<t<$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin$ t<t<$\tan$ t から $\cos$ t<$\displaystyle \frac{\sin t}{t}$<1 を得て、はさみうちの原理を用いれば t$\to$0+ で示せる。また $\displaystyle \frac{\sin(-t)}{-t}$=$\displaystyle \frac{\sin t}{t}$ なので両側極限も 1 である。　 さらに、h が 0 に十分近いとき 1+$\cos$ h$\ne$0 であり、 $\cos$ h-1=-$\displaystyle \frac{\sin^2h}{1+\cos h}$ だから $\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}$ =-$\displaystyle \frac{\sin h}{h}$$\cdot$$\displaystyle \frac{\sin h}{1+\cos h}$$\longrightarrow$ -1$\cdot$$\displaystyle \frac{0}{2}$=0 　(h$\to$0). よって $\displaystyle \lim\limits _{h\to0}$$\displaystyle \frac{\cos(a+h)-\cos a}{h}$ =$\cos$ a$\cdot$0-$\sin$ a$\cdot$1=-$\sin$ a. これは有限な実数であるから、定義により $\cos$ x は任意の実数 a において微分可能である。