3神戸大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) 交点では $y=b^{1/3}x^{2/3}$ を $ay^2=x^3$ に代入できる。$x>0$ より $$ab^{2/3}x^{4/3}=x^3,\qquad x^{5/3}=ab^{2/3},\qquad x_P=a^{3/5}b^{2/5}.$$ これを $C_2$ の式に戻すと $$y_P=b^{1/3}(a^{3/5}b^{2/5})^{2/3}=a^{2/5}b^{3/5}.$$ 従って $$\boxed{P=(a^{3/5}b^{2/5},\ a^{2/5}b^{3/5})}.$$ 概形は $C_1$ が原点から水平に出て下に凸に上昇し、$C_2$ が原点から鉛直に立ち上がり上に凸に上昇する。原点と $P$ の間では $C_2$ が上、$P$ の先では $C_1$ が上となる。形の関係を見やすくするため $\xi=x/x_P$, $\eta=y/y_P$ と規格化すると、2曲線は $\eta=\xi^{3/2}$ および $\eta=\xi^{2/3}$ となる。次図はその概形である。

(2) $0<x<x_P$ で $C_2$ が $C_1$ より上にあるので、囲まれる面積を積分して $$\displaystyle S_{ab}=\int_0^{x_P}\left(b^{1/3}x^{2/3}-\frac{x^{3/2}}{\sqrt a}\right)dx =\frac35b^{1/3}x_P^{5/3}-\frac25a^{-1/2}x_P^{5/2}.$$ $x_P=a^{3/5}b^{2/5}$ を用いると $$b^{1/3}x_P^{5/3}=ab,\qquad a^{-1/2}x_P^{5/2}=ab,$$ よって $$\displaystyle \boxed{S_{ab}=\frac{ab}{5}}.$$ 面積が一定値 $S$ なら $ab=5S$ である。一方、(1) の交点の座標について $$x_Py_P=(a^{3/5}b^{2/5})(a^{2/5}b^{3/5})=ab=5S.$$ 従って軌跡は $$\boxed{xy=5S,\qquad x>0,\ y>0}.$$ 逆に、正の $x,y$ が $xy=5S$ を満たせば $a=x^3/y^2$, $b=y^3/x^2$ と選べる。このとき $ab=xy=5S$ であり、(1) の交点が $(x,y)$ となるので、第一象限のこの双曲線全体が軌跡である。