神戸大学 2002年数学第2問解答・解説

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1問題

神戸大学2002年度第2問

正の整数 $n$ に対して，連立不等式 $\left\{\begin{array}{l}0<x\leq n,\\x\leq y\leq 3x\end{array}\right.$ の表す領域を $D_n$ とする。次の問に答えよ。（配点 $30$ 点）

（1）領域 $D_n$ 内にある格子点 $P(x,y)$ の個数を $S_n$ とする。 $S_n$ を $n$ で表せ。ただし，格子点とは $x$ 座標と $y$ 座標の両方が整数であるような点のことである。

（2）原点 $O(0,0)$ を始点とし，領域 $D_n$ 内の格子点 $P(x,y)$ を終点とする位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は，ベクトル $\overrightarrow{v_1}=(1,1),\quad\overrightarrow{v_2}=(1,2),\quad\overrightarrow{v_3}=(1,3)$ と $0$ 以上の整数 $m_1,m_2,m_3$ を用いて， $\overrightarrow{OP}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}+m_3\overrightarrow{v_3}$ と表せることを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad S_n=n(n+2).$
$(2)\quad d=y-x=2q+r\space{}(r\in\{0,1\}),\quad m_1=x-q-r,\space{}m_2=r,\space{}m_3=q.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 格子点では $x$ は整数で $0<x\leq n$ だから、 $x=1,2,\ldots,n$ 。固定した $x$ に対して整数 $y$ は $x,x+1,\ldots,3x$ の $2x+1$ 個である。したがって $\displaystyle S_n=\sum\limits _{x=1}^n(2x+1)=n(n+1)+n=n(n+2).$

(2) 格子点 $(x,y)$ に対して $d=y-x$ とおけば、 $d$ は整数で $0\leq d\leq2x$ 。これを2で割って $d=2q+r$ （ $q\geq0$ , $r$ は0または1）とする。 $m_3=q$ , $m_2=r$ , $m_1=x-q-r$ とおく。

$r=0$ なら $d=2q\leq2x$ より $q\leq x$ 、したがって $m_1\geq0$ 。 $r=1$ なら $2q+1=d\leq2x$ より $q\leq x-1$ で、やはり $m_1\geq0$ 。他の係数も非負整数である。成分を計算すると $\begin{aligned} m_1\overrightarrow v_1+m_2\overrightarrow v_2+m_3\overrightarrow v_3 &=(m_1+m_2+m_3,\ m_1+2m_2+3m_3)\\ &=(x,\ x+2q+r)=(x,x+d)=(x,y), \end{aligned}$ となり、求める表示ができる。

この問題で使う考え方

整数座標を固定して個数を加算
整数の除法による商・余りの構成
ベクトルの成分計算

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