6愛媛大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1)(i) $y=x(4-x)=-(x-2)^2+4$ は頂点 $(2,4)$、$x$ 軸との交点 $(0,0),(4,0)$ をもつ。$D_2$ はこの放物線と $x$ 軸の間で、境界を含む。下図の点は領域内の格子点である。

(ii) $x=0,1,2,3,4$ ごとの格子点数はそれぞれ $1,4,5,4,1$ なので、$a_2=15$。

(iii) $x=k$ では $0\leq y\leq k(2n-k)$。上端が非負の整数なので、整数の $y$ は $k(2n-k)+1$ 個。

(iv) 全ての整数 $k=0,\ldots,2n$ について加えると $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=\sum\limits _{k=0}^{2n}\{k(2n-k)+1\}\\ &=2n\frac{2n(2n+1)}2-\frac{2n(2n+1)(4n+1)}6+(2n+1)\\ &=\frac{4n^3+5n+3}{3}. \end{aligned}$$

(v) 面積は $$\displaystyle b_n=\int_0^{2n}x(2n-x)\,dx=\left[nx^2-\frac{x^3}3\right]_0^{2n}=\frac{4n^3}3.$$ 従って $b_n/a_n=4n^3/(4n^3+5n+3)\to1$。

(2)(i) 回転で長さは保たれ、$P,Q$ の角度差は $\pi/2$ だから、 $$\vec p\cdot\vec q=0,\qquad \vec q\cdot\vec q=1.$$

(ii) $C,Q$ の角度差と加法定理から $$\vec c\cdot\vec q=\cos(\theta+\pi/2-\alpha)=\sin(\alpha-\theta).$$

(iii) 与えられた式 $\vec c=s\vec p+t\vec q$ の両辺と $\vec q$ の内積をとる。(i)より右辺は $t$ なので、$t=\sin(\alpha-\theta)$。

(iv) 同様に $\vec a\cdot\vec b=0$, $|\vec a|=1$ であり、$\vec q\cdot\vec a=\cos(\theta+\pi/2)=-\sin\theta$。従って $t\vec q=u\vec a+v\vec b$ の両辺と $\vec a$ の内積をとると $$\displaystyle u=-\sin\theta\sin(\alpha-\theta) =\frac{\cos\alpha-\cos(2\theta-\alpha)}2.$$ 最後の式は積和公式による。

(v) $|\vec d|=|u|$ である。$\alpha=\pi/6$, $0\leq\theta\leq\alpha$ のもとで $$-\alpha\leq2\theta-\alpha\leq\alpha,\qquad \cos\alpha\leq\cos(2\theta-\alpha)\leq1.$$ ゆえに $u\leq0$ で、$|u|$ は $2\theta-\alpha=0$ のとき最大となる。従って $\theta=\pi/12$ のとき $$\displaystyle |\vec d|_{\max}=\frac{1-\cos(\pi/6)}2=\frac{2-\sqrt3}{4}.$$