4愛媛大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+10}{x^{2}+7x+14}$ とおく。まず $$\displaystyle f(0)=\frac{0+10}{0+0+14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}.$$ 商の微分法により $$\displaystyle f'(x)=\frac{(x+10)'(x^{2}+7x+14)-(x+10)(x^{2}+7x+14)'}{(x^{2}+7x+14)^{2}}=\frac{(x^{2}+7x+14)-(x+10)(2x+7)}{(x^{2}+7x+14)^{2}}.$$ 分子を展開すると $(x+10)(2x+7)=2x^{2}+27x+70$ であるから、分子は $$(x^{2}+7x+14)-(2x^{2}+27x+70)=-x^{2}-20x-56$$ となる。よって $$\displaystyle f'(0)=\frac{-56}{14^{2}}=\frac{-56}{196}=-\frac{2}{7}.$$ 点 $(0,f(0))$ における接線は $y=f'(0)x+f(0)$ であるから $$\displaystyle a=f'(0)=-\frac{2}{7},\qquad b=f(0)=\frac{5}{7}.$$

(2) $f(x)=-x-1+\sqrt{4x+1}\ (x\ge 0)$ とする。$f(x)\ge 0$ は $$\sqrt{4x+1}\ge x+1$$ と同値である。$x\ge 0$ より右辺 $x+1>0$ であり、左辺も非負であるから、両辺を2乗しても同値性は保たれる（両辺とも非負なので二乗は同値変形）。 $$4x+1\ge (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1 \ \quad\text{すなわち}\quad\ -x^{2}+2x\ge 0 \ \quad\text{すなわち}\quad\ x(x-2)\le 0 \ \quad\text{すなわち}\quad\ 0\le x\le 2.$$ $x\ge 0$ という定義域と合わせて、$f(x)\ge 0$ であるための必要十分条件は $0\le x\le 2$ である。よって $\text{ウ}=2$。

次に $f(x)$ の最大値を求める。$t=\sqrt{4x+1}$ とおくと、$x\ge 0$ より $t\ge 1$ であり、$\displaystyle x=\dfrac{t^{2}-1}{4}$。これを代入すると $$\displaystyle f=-\frac{t^{2}-1}{4}-1+t=-\frac14t^{2}+t-\frac34.$$ これは $t$ の二次関数で、$\displaystyle t=-\dfrac{1}{2\cdot(-1/4)}=2$ のとき最大となる。$t=2\ge 1$ は定義域内であり、対応する $x$ は $4x+1=4$ より $\displaystyle x=\dfrac34$。最大値は $$\displaystyle f\Bigl(\frac34\Bigr)=-\frac14\cdot4+2-\frac34=-1+2-\frac34=\frac14.$$ （検算：$\displaystyle f'(x)=-1+\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}=0$ より $\sqrt{4x+1}=2$、$\displaystyle x=\dfrac34$ となり一致する。）よって $\displaystyle \text{エ}=\dfrac14$。

(3) $h(x)=x+\tan x$ は奇関数（$h(-x)=-x-\tan x=-h(x)$）であり、積分範囲 $-\pi/3\le x\le\pi/3$ は原点対称であるから $$\displaystyle \int_{-\pi/3}^{\pi/3}(x+\tan x)\,dx=0.$$ よって $\text{オ}=0$。

次に絶対値付きの積分を考える。$0<x<\pi/2$ では $\tan x>x>0$（単位円での弧長と正接線分の長さの比較、あるいは $k(x)=\tan x-x$ が $k(0)=0,\ k'(x)=\tan^{2}x\ge0$ で単調増加であることから従う）ので、$0\le x\le \pi/3$ で $h(x)=x+\tan x\ge 0$（等号は $x=0$ のみ）。$h$ は奇関数だから $-\pi/3\le x\le 0$ では $h(x)\le 0$。したがって $$\displaystyle \int_{-\pi/3}^{\pi/3}|h(x)|\,dx=\int_{-\pi/3}^{0}\bigl(-h(x)\bigr)dx+\int_{0}^{\pi/3}h(x)\,dx.$$ 第一項で $x=-u$ と置換すると、$h$ が奇関数であることから $-h(x)=-h(-u)=h(u)$ となり $$\displaystyle \int_{-\pi/3}^{0}\bigl(-h(x)\bigr)dx=\int_{0}^{\pi/3}h(u)\,du.$$ よって $$\displaystyle \int_{-\pi/3}^{\pi/3}|h(x)|\,dx=2\int_{0}^{\pi/3}(x+\tan x)\,dx.$$ $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\log|\cos x|+C$ なので $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/3}(x+\tan x)\,dx=\Bigl[\frac{x^{2}}{2}-\log|\cos x|\Bigr]_{0}^{\pi/3}=\frac{\pi^{2}}{18}-\log\frac12-\bigl(0-\log1\bigr)=\frac{\pi^{2}}{18}+\log2.$$ したがって $$\displaystyle \int_{-\pi/3}^{\pi/3}|x+\tan x|\,dx=2\left(\frac{\pi^{2}}{18}+\log2\right)=\frac{\pi^{2}}{9}+2\log2.$$ よって $\displaystyle \text{カ}=\dfrac{\pi^{2}}{9}+2\log2$。

(4) $f(x)=x$ より $f'(x)=1$、特に $f'(0)=1$（与えられている通り）。$g(x)=2x\sin x$ は積の微分法より $$g'(x)=2\sin x+2x\cos x,\qquad g'(0)=2\sin0+2\cdot0\cdot\cos0=0.$$ よって $\text{キ}=0$。

次に $0\le x\le \pi/6$ における $y=f(x)=x$ と $y=g(x)=2x\sin x$ の大小を調べる。両者の差は $$f(x)-g(x)=x-2x\sin x=x(1-2\sin x).$$ $0\le x\le \pi/6$ では $\sin x$ は単調増加で $\displaystyle \sin x\le \sin(\pi/6)=\dfrac12$ であるから $1-2\sin x\ge 0$、また $x\ge0$ なので $f(x)-g(x)\ge0$（等号は $x=0$ または $x=\pi/6$ のときのみ）。したがって区間内で直線 $y=f(x)$ は曲線 $y=g(x)$ の上（またはそれに接する境界）にあり、面積は $$\displaystyle S=\int_{0}^{\pi/6}\bigl(x-2x\sin x\bigr)\,dx.$$ 部分積分により $\displaystyle\int 2x\sin x\,dx=-2x\cos x+2\sin x+C$（$u=2x,\ dv=\sin x\,dx$ とおくと $du=2dx,\ v=-\cos x$ より $\displaystyle \int 2x\sin x\,dx=-2x\cos x+\int2\cos x\,dx=-2x\cos x+2\sin x+C$）であるから $$\displaystyle S=\Bigl[\frac{x^{2}}{2}-(-2x\cos x+2\sin x)\Bigr]_{0}^{\pi/6}=\Bigl[\frac{x^{2}}{2}+2x\cos x-2\sin x\Bigr]_{0}^{\pi/6}.$$ $x=\pi/6$ を代入すると、$\displaystyle \cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin(\pi/6)=\dfrac12$ より $$\displaystyle S=\frac{\pi^{2}}{72}+2\cdot\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-2\cdot\frac12=\frac{\pi^{2}}{72}+\frac{\sqrt3}{6}\pi-1.$$ （数値検算：$\pi^{2}/72\fallingdotseq0.137,\ \sqrt3\pi/6\fallingdotseq0.907$ より $S\fallingdotseq0.044>0$ で、上記の大小関係と符号が一致する。）よって $\displaystyle \text{ク}=\dfrac{\pi^{2}}{72}+\dfrac{\sqrt3}{6}\pi-1$。

(5) 正六角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ の6頂点はすべて外接円上にあるので、相異なる3頂点は同一直線上に並ぶことがなく、常に三角形をなす。逆に $a,b,c$ の中に同じ値があれば、点は高々2点しかなく三角形は作れない。したがって「三角形を作る」ことと「$a,b,c$ がすべて相異なる」ことは同値である。

全事象は $6^{3}=216$ 通り。$a,b,c$ が相異なる場合の数は $6\times5\times4=120$ 通りであるから $$\displaystyle P(\text{三角形})=\frac{120}{216}=\frac{5}{9}.$$ よって $\displaystyle \text{ケ}=\dfrac59$。

正六角形の頂点から作れる正三角形は、1つおきに頂点を選んだ $\{P_1,P_3,P_5\}$ と $\{P_2,P_4,P_6\}$ の2通りに限られる（隣接する頂点を含む組み合わせでは辺の長さが等しくならないことは、正六角形の外接円の半径を $R$ とすると、隣接2頂点間の弦の長さは $R$、1つ飛ばした2頂点間の弦の長さは $\sqrt3R$、向かい合う2頂点間の弦の長さは $2R$ となり、これらが混在する組では3辺の長さが一致しないことから確認できる）。

$(a,b,c)$ が $\{1,3,5\}$ の並べ替えとなる場合の数は $3!=6$ 通り、$\{2,4,6\}$ の並べ替えとなる場合の数も $3!=6$ 通りで、合計 $12$ 通り。したがって $$\displaystyle P(\text{正三角形})=\frac{12}{216}=\frac{1}{18}.$$ よって $\displaystyle \text{コ}=\dfrac{1}{18}$。

微分による接線、根号関数の最大、奇関数の積分、曲線間の面積、正六角形の頂点の数え上げを小問ごとに示す。