4鹿児島大学 2023年 数学 第4問解答・解説

曲線を$f(x)=(\log x)^2$とおくと、$x>0$で$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\log x}{x}$、$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2(1-\log x)}{x^2}$である。

(1) 点$P(a,(\log a)^2)$における接線は$y-f(a)=f'(a)(x-a)$より、$$\displaystyle y=\frac{2\log a}{a}(x-a)+(\log a)^2=\frac{2\log a}{a}x+(\log a)^2-2\log a.$$

(2)$a>1$では$\log a>0$なので、接線と$x$軸との交点の$x$座標を$X(a)$とすると、$$\displaystyle 0=\frac{2\log a}{a}X(a)+(\log a)^2-2\log a$$から$$\displaystyle X(a)=a\left(1-\frac{\log a}{2}\right).$$したがって$\displaystyle X'(a)=\dfrac{1-\log a}{2}$である。$1<a<e$では$X'(a)>0$、$a>e$では$X'(a)<0$だから、$X(a)$は$a=e$で最大となり、$a_0=e$である。

(3)$a=e$のとき$L$は$\displaystyle y=\dfrac{2}{e}x-1$であり、$x$軸との交点は$\displaystyle x=\dfrac e2$である。また$C$は$x=1$で$x$軸と交わる。$1\leq x\leq e$では$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2(1-\log x)}{x^2}\geq0$なので、$C$はこの区間で下に凸であり、接点$x=e$における接線$L$は$C$の下側にある。よって、$1\leq x\leq e/2$では半径$(\log x)^2$の円板、$e/2\leq x\leq e$では外半径$(\log x)^2$、内半径$2x/e-1$の円環を回転断面とする。体積は$$\displaystyle V=\pi\int_1^{e/2}(\log x)^4\,dx+\pi\int_{e/2}^e\left((\log x)^4-\left(\frac{2x}{e}-1\right)^2\right)dx.$$部分積分を繰り返すと$$\displaystyle \int(\log x)^4\,dx=x\left((\log x)^4-4(\log x)^3+12(\log x)^2-24\log x+24\right)+C,$$したがって$\displaystyle \int_1^e(\log x)^4dx=9e-24$である。また$u=2x/e-1$とおけば$$\displaystyle \int_{e/2}^e\left(\frac{2x}{e}-1\right)^2dx=\frac e2\int_0^1u^2du=\frac e6.$$以上より$$\displaystyle V=\pi\left(9e-24-\frac e6\right)=\pi\left(\frac{53e}{6}-24\right).$$