3鹿児島大学 2023年 数学 第3問解答・解説

3-1（整数性） $\phi=(1+\sqrt5)/2$ と置けば $\phi^2=\phi+1$, よって $\phi^3=2+\sqrt5$ である。各整数 $k\ge0$ について $$(2+\sqrt5)^k=A_k+B_k\sqrt5$$ と書くと、$A_0=1,B_0=0$ であり $$A_{k+1}=2A_k+5B_k,\qquad B_{k+1}=A_k+2B_k.$$ 帰納法により $A_k,B_k$ は整数。さらに $$(A_{k+1},B_{k+1})\equiv(B_k,A_k)\pmod2,$$ だから $k$ 偶数なら偶奇は (奇,偶)、$k$ 奇数なら (偶,奇) となる。

$n=3k$ なら $\phi^n=A_k+B_k\sqrt5$ なので $a_n=A_k,b_n=B_k$ は整数である。逆に $n=3k+1$ なら係数は $$\displaystyle a_n=\frac{A_k+5B_k}{2},\qquad b_n=\frac{A_k+B_k}{2},$$ $n=3k+2$ なら $$\displaystyle a_n=\frac{3A_k+5B_k}{2},\qquad b_n=\frac{A_k+3B_k}{2}.$$ どちらの場合も各分子は $A_k+B_k$ と同じ奇偶であり、これは奇数。よって係数は整数でない。従って両係数が整数である必要十分条件は $3\mid n$。

3-2（ベクトル） $\boldsymbol u=\overrightarrow{PA},\boldsymbol v=\overrightarrow{PB},\boldsymbol w=\overrightarrow{PC}$ とする。各辺長は1で、正三角形と各正六角形の内角から $$\displaystyle \boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=\frac12,\qquad \boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol w=-\frac12.$$ よって(1)の答は順に $1/2,-1/2,-1/2$。$PA$ に垂直な $PB$ の成分は $\boldsymbol v-\boldsymbol u/2$（長さ $\sqrt3/2$）で、指定側に向くので $$\displaystyle \overrightarrow{HQ}=\frac{2\boldsymbol v-\boldsymbol u}{\sqrt3}.$$ 同様に $PA$ に垂直な $PC$ の成分は $\boldsymbol w+\boldsymbol u/2$（長さ $\sqrt3/2$）で、六角形 $\alpha$ 内部に向くから $$\displaystyle \overrightarrow{HR}=\frac{\boldsymbol u+2\boldsymbol w}{\sqrt3}.$$ 両者の長さは1なので $$\displaystyle \cos\theta=\overrightarrow{HQ}\cdot\overrightarrow{HR} =\frac{(2\boldsymbol v-\boldsymbol u)\cdot(\boldsymbol u+2\boldsymbol w)}{3}=-\frac13.$$

3-3（確率） 赤玉が $r$ 個のとき、次の赤玉数は $r-1$ または $r+1$ であり、その確率はそれぞれ $r/6,(6-r)/6$。2回後について $$\displaystyle P(X=2)=\frac46\frac36=\frac13,\quad P(X=4)=\frac{11}{18},\quad P(X=6)=\frac26\frac16=\frac1{18}.$$ したがって $$\displaystyle E(X)=\frac{31}{9},\quad E(X^2)=\frac{118}{9},\quad V(X)=\frac{118}{9}-\left(\frac{31}{9}\right)^2=\frac{101}{81}.$$ 赤玉数を $R_t$ とすれば、赤玉数が $r$ のとき次の条件付き期待値は $$\displaystyle (r-1)\frac r6+(r+1)\frac{6-r}{6}=\frac23r+1.$$ よって $\displaystyle E(R_{t+1})=\tfrac23E(R_t)+1$。初めは $R_0=4$ なので $E(R_3)=89/27$。$Y=6-R_3$ より $E(Y)=73/27$。

問題3は三つの選択肢から一つを選ぶ形式なので、選択肢3-1・3-2・3-3を別々に検算した。3-1は係数の漸化式と偶奇、3-2は正多角形の角からの内積と垂直成分、3-3は赤玉数の遷移確率と期待値漸化式で求める。