1鹿児島大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $2^2+4^2=20=(2\sqrt{5})^2$ より、この三角形は辺 2,4 を直角をはさむ辺とする直角三角形である。したがって面積は $\displaystyle K=\frac12\cdot2\cdot4=4$、半周長は $\displaystyle s=\frac{2+4+2\sqrt{5}}2=3+\sqrt{5}$ である。内接円の半径を $r$ とすると、三角形を内心から各辺へ分けた三つの三角形の高さはいずれも $r$ だから、$K=rs$。よって $\displaystyle r=\frac{4}{3+\sqrt{5}}=3-\sqrt{5}$。求める面積は $\pi r^2=\pi(3-\sqrt{5})^2=\pi(14-6\sqrt{5})$。　 (2)　 $\theta=\sqrt{5}+\sqrt{7}$ より、$\theta^2=12+2\sqrt{35}$ である。したがって $(\theta^2-12)^2=140$ であり、展開すると $\theta^4-24\theta^2+144=140$、すなわち $\theta^4-24\theta^2+4=0$。よって $f(x)=x^4-24x^2+4$ とすれば、有理数係数の4次の整式で、4次の項の係数は1、かつ $f(\theta)=0$ である。　 (3)　 3回の出目を順序つきで数えると、全事象は $6^3=216$ 通りで、どれも同様に確からしい。和が7以上となる事象の余事象は和が6以下となる事象である。出目はすべて1以上なので、和が3,4,5,6となる順序つきの組の数はそれぞれ $1,3,6,10$ 通りである（和が5では $(3,1,1)$ の並べ替えが3通り、$(2,2,1)$ の並べ替えが3通り；和が6では $(4,1,1)$ が3通り、$(3,2,1)$ が6通り、$(2,2,2)$ が1通り）。したがって余事象は $1+3+6+10=20$ 通りであり、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{20}{216}=\frac{196}{216}=\frac{49}{54}$。