2鹿児島大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 点 $P(x,y)$ とおく。$PA:PB=3:2$ は、距離が非負であることから $$4PA^2=9PB^2,$$ すなわち $$4(x^2+y^2)=9\{x^2+(y-5k)^2\}$$ と同値である。整理して平方完成すると $$x^2+y^2-18ky+45k^2=0 \quad\text{すなわち}\quad x^2+(y-9k)^2=36k^2.$$ $k>0$ より、軌跡は中心 $(0,9k)$、半径 $6k$ の円全体。

(2) 放物線上で $t=x^2\geq0$ とおくと $y=t/3+3/4$ である。円の式への代入を $$\displaystyle q(t)=t+\left(\frac{t}{3}+\frac{3}{4}-9k\right)^2-36k^2 =\frac{1}{9}(t-t_0)^2-36\left(k-\frac{1}{4}\right)\left(k-\frac{1}{2}\right), \qquad t_0=27k-\frac{27}{4}$$ と平方完成する。また $$\displaystyle q(0)=\left(3k-\frac{3}{4}\right)\left(15k-\frac{3}{4}\right).$$ $t>0$ の解一つは $x=\pm\sqrt t$ の共有点二つに、$t=0$ は共有点一つに対応する。

$0<k\leq1/4$ では $t_0\leq0$ なので、$q$ は $t\geq0$ で増加する。$q(0)$ は $0<k<1/20$ で正、$k=1/20,1/4$ で0、$1/20<k<1/4$ で負である。よってこの範囲で共有点がちょうど二つとなるのは $1/20<k<1/4$ のときだけである。端点では $t=0$ の一点。

$k>1/4$ では $t_0>0$ が頂点で、 $$\displaystyle q(t_0)=-36\left(k-\frac{1}{4}\right)\left(k-\frac{1}{2}\right).$$ $1/4<k<1/2$ では最小値が正で交点なし、$k=1/2$ では正の重解 $t=27/4$ が一つで共有点二つ、$k>1/2$ では最小値が負となる。さらに $q(0)>0$ だから二つの根はともに正で、共有点は四つ。したがって $$\displaystyle \boxed{\frac{1}{20}<k<\frac{1}{4}\quad\text{または}\quad k=\frac{1}{2}}.$$ $k=1/2$ では $x=\pm3\sqrt3/2,\ y=3$ となり、両方の曲線に実際に乗ることも確認できる。

距離比から円を求め、放物線との交点を$t=x^2\ge0$の二次方程式に帰着する。$t=0$の共有点一つと$t>0$の各根に対応する二共有点を区別し、頂点位置・最小値・$q(0)$の符号で$k$を場合分けする。