4長崎大学 2023年 数学 第4問解答・解説

放物線上の高さを $f(x)=(x-3)^2$，直線上の高さを $g(x)=2x+9$ とおく。両者の交点の $x$ 座標は $$(x-3)^2=2x+9 \text{、すなわち } x^2-8x=0 \text{、すなわち } x=0,\ 8$$ である。したがって $p=0,\ q=8$ であり，図形 $F$ は $0\leq x\leq8$ において $f(x)\leq y\leq g(x)$ を満たす領域である。

(1) 整数 $k$ を $0\leq k\leq8$ とすると，$x=k$ 上では $y$ は整数で $$(k-3)^2\leq y\leq2k+9$$ を満たす。その個数は $$a_k=(2k+9)-(k-3)^2+1=-k^2+8k+1.$$ $k=0,1,\ldots,8$ に対する個数は順に $1,8,13,16,17,16,13,8,1$ であるから， $$N=1+8+13+16+17+16+13+8+1=93.$$

(2) 各整数 $k$ に対し，列 $x=k$ で $x+y$ が最小となるのは $y=(k-3)^2$ のときであり， $$\displaystyle x+y=k+(k-3)^2=k^2-5k+9=(k-\tfrac52)^2+\tfrac{11}{4}.$$ $k$ は整数なので，この値の最小値は $k=2,3$ のときの $3$ である。対応する格子点はそれぞれ $(2,1),(3,0)$ である。一方，列 $x=k$ で最大となるのは $y=2k+9$ のときで，$x+y=3k+9$ は $k$ とともに増加する。よって最大値は $k=8$ のときの $33$ であり，格子点は $(8,25)$ である。

(3) 格子点間の辺の差は整数成分をもち，長さが $1$ ならその成分は $(\pm1,0)$ または $(0,\pm1)$ である。したがってこの正方形は座標軸に平行である。$x=k$ と $x=k+1$ を左右の辺とし，下側の頂点の高さを整数 $m$ とすると，四頂点が $F$ に含まれる条件は $$\displaystyle \max\{(k-3)^2,(k-2)^2\}\leq m,\qquad m+1\leq 2k+9$$ である。ここで上側の条件は $g(k)\leq g(k+1)$ による。従って $$\displaystyle b_k=\max\!\left(0,\ 2k+9-\max\{(k-3)^2,(k-2)^2\}\right) \quad (k=0,1,\ldots,7),$$ また $k<0$ または $k\geq8$ では $b_k=0$ である。$k=0,\ldots,7$ で順に $b_k=0,7,12,14,13,10,5,0$ となるので，$b_k\geq1$ となるのは $k=1,2,\ldots,6$ である。式で表すと $$b_k=\begin{cases} -k^2+8k &(k=1,2),\\ -k^2+6k+5 &(k=3,4,5,6). \end{cases}$$

(4) 1辺が $1$ の正方形の面積は $1$ だから， $$\displaystyle T=\sum\limits _{k=1}^{6}b_k=7+12+14+13+10+5=61.$$ また，図形 $F$ の面積は上側の直線から下側の放物線を引いて $$\displaystyle S=\int_0^8\left\{2x+9-(x-3)^2\right\}\,dx =\int_0^8(-x^2+8x)\,dx =\left[-\frac{x^3}{3}+4x^2\right]_0^8 =\frac{256}{3}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{T}{S}=\frac{61}{256/3}=\frac{183}{256}.$$