I慶應義塾大学 2014年 数学 第I問解答・解説

(1) 偶数は $2,4,6,8,10,12$ の $6$ 枚、奇数は $7$ 枚である。偶数がちょうど $2$ 枚の場合と $3$ 枚の場合に分けると、求める選び方は $$\displaystyle \binom{6}{2}\binom{7}{1}+\binom{6}{3}=15\cdot7+20=125$$ 通りである。また、$11$ 以上の数は $11,12,13$ の $3$ 枚である。これらを一枚も含まない選び方を全体から引けば、少なくとも一枚含む選び方は $$\displaystyle \binom{13}{3}-\binom{10}{3}=286-120=166$$ 通りとなる。

(2) $\beta=2-\sqrt5$ とおくと、$\alpha+\beta=4$、$\alpha\beta=-1$ だから、$\alpha,\beta$ を解とする二次方程式は $$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0,\qquad x^2-4x-1=0.$$ したがって $a_1=-4$、$b_1=-1$ である。次に $S_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく。$\alpha,\beta$ はともに $x^2=4x+1$ を満たすので、$S_{n+2}=4S_{n+1}+S_n$ であり、$S_0=2,S_1=4$ から各 $S_n$ は整数である。$\alpha^n,\beta^n$ を解とする方程式は $$x^2-S_nx+(\alpha\beta)^n=0$$ であるから、$a_n=-S_n$、$b_n=(-1)^n$ となる。さらに $$a_n^2+a_{2n}=S_n^2-S_{2n}=(\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha^{2n}+\beta^{2n})=2(\alpha\beta)^n=2(-1)^n.$$

(3) 部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1 xe^x\,dx&=[(x-1)e^x]_0^1=1,\\ \int_0^1 xe^{2x}\,dx&=\left[e^{2x}\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)\right]_0^1=\frac{e^2+1}{4},\\ \int_0^1x\,dx&=\frac12. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle A(m)=\frac{e^2+1}{4}-2m+\frac{m^2}{2}=\frac12(m-2)^2+\frac{e^2-7}{4}.$$ $(m-2)^2\geq0$ なので、$A(m)$ は $m=2$ のとき最小となり、その最小値は $\displaystyle \dfrac{e^2-7}{4}$ である。