長崎大学／2023年度／前期

長崎大学 2023年数学第8*問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

長崎大学2023年度第8*問

はじめに，図1のように $xy$ 座標平面上に4点 $P(0,0),Q(2,0),R(2,2),S(0,2)$ を頂点とする一辺の長さが2の正方形 $PQRS$ がある。この正方形を，図2のように反時計回りに移動させる。ただし， $P$ が $x$ 軸上を点 $(0,0)$ から点 $(2,0)$ に毎秒1の速さで正の方向に動くと同時に， $S$ は $y$ 軸上を点 $(0,2)$ から点 $(0,0)$ に動くものとする。この移動で，2秒後には図3のような状態になる。

図1は矢印付きx,y軸の第1象限に、網掛けの正方形PQRSがあり、Pは軸の交点、Qは右下、Rは右上、Sは左上にある。辺PQとPSの外側に破線の曲線と辺長2がそれぞれ記されている。

図2は矢印付きx,y軸に傾いた網掛けの正方形PQRSを示し、Pはx軸上、Sはy軸上、Qは右、Rは上にある。P付近に右向き、Sの左に下向き、Rの上に反時計回りの太い矢印が記されている。

図3は矢印付きx,y軸の第1象限に、網掛けの正方形PQRSを示す。Sは軸の交点、Pは右下、Qは右上、Rは左上にある。

この移動を繰り返すことによって，正方形は8秒後には図1の状態に戻る。以下の問いに答えよ。ただし，(1)は答えのみでよい。　 (1) 正方形が移動をはじめてから $t\ (0\leq t\leq2)$ 秒後における4点 $P,Q,R,S$ の座標を，それぞれ $t$ を用いて表せ。　 (2) 正方形が移動をはじめてから $t\ (0\leq t\leq2)$ 秒後における点 $Q(x,y)$ の速度 $\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ を求めよ。また， $t=\sqrt{2}$ のときの $Q$ の速さを求めよ。　 (3) 正方形が移動をはじめてから $t\ (0\leq t\leq2)$ 秒後における点 $Q$ の $x$ 座標を $f(t)$ とする。 $f(t)$ の最大値を求めよ。また，そのときの $Q$ と $R$ の座標を求めよ。　 (4) 正方形の対角線の交点を $D(x,y)$ とする。正方形が移動をはじめてから8秒間における点 $D$ は，どのような図形上にあるか説明せよ。　 (5) 正方形が移動をはじめてから8秒間における点 $P$ の軌跡を $C$ とする。 $C$ で囲まれる図形の面積 $T$ を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認 $h=\sqrt{4-t^2}$ とおくと $P=(t,0), S=(0,h)$ 。正方形の辺の向きから $\overrightarrow{PS}=(-t,h)$ 、 $\overrightarrow{PQ}=(h,t)$ なので $Q=(t+h,t),\qquad R=(h,t+h).$ $0\le t<2$ では $h'=-t/h$ より $\vec v_Q=(1-t/h,1)$ 。 $t=\sqrt2$ では速さ1、 $t\to2-$ では $dx/dt\to-\infty$ となるので $t=2$ に有限な速度ベクトルはない。

$Q$ の $x$ 座標は $t+h$ 。 $t^2+h^2=4$ から $(t+h)^2\le8$ 、等号は $t=h=\sqrt2$ 。したがって最大値は $2\sqrt2$ 、そのとき $Q=(2\sqrt2,\sqrt2)$ 、 $R=(\sqrt2,2\sqrt2)$ 。

対角線の交点は $D=((t+h)/2,(t+h)/2)$ で、最初の2秒は $y=x$ 上の $(1,1)$ から $(\sqrt2,\sqrt2)$ までを動く。以後の各2秒の動きは正方形の中心 $(1,1)$ のまわりの90度回転なので、8秒間の軌跡は $y=x$ と $x+y=2$ 上の線分の和集合となる。各線分の $x$ 座標の範囲は $2-\sqrt2\le x\le\sqrt2$ 。点 $P$ は一辺2の正方形の周を一周し、囲む面積は4。

この問題で使う考え方

座標による距離
内分・外分点
直線の方程式
軌跡
合成関数の微分
速度と加速度
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルの成分表示

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。