3長崎大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 項数から $m$ は正の整数であり、$a_n=n,\ b_n=m+1-n$ である。したがって $$\displaystyle c_n=n(m+1-n)=-\left(n-\frac{m+1}{2}\right)^2+\frac{(m+1)^2}{4}.$$ $n$ は整数なので、$m$ が奇数なら頂点 $(m+1)/2$ は整数で、最大値は $(m+1)^2/4$ である。$m$ が偶数なら頂点は隣り合う二整数の中点であり、その二整数で最大となる。よっていずれの場合も最大値は $\left\lfloor (m+1)^2/4\right\rfloor$ である。また $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m}c_k=\sum\limits _{k=1}^{m}k(m+1-k)=(m+1)\frac{m(m+1)}2-\frac{m(m+1)(2m+1)}6=\frac{m(m+1)(m+2)}6.$$

(2) $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\ \vec{b}=\overrightarrow{OB}$ とおくと、$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3,\ |\vec{b}-\vec{a}|=3$ である。よって $$9=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=4+9-2\vec{a}\cdot\vec{b},$$ から $\vec{a}\cdot\vec{b}=2$。$H$ は直線 $AB$ 上にあるので $\overrightarrow{OH}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$ とおく。$OH\perp AB$ より $$0=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=(\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}))\cdot(\vec{b}-\vec{a})=-2+9t,$$ したがって $t=2/9$、$\overrightarrow{OH}=(7\vec{a}+2\vec{b})/9$。重心の位置ベクトルは $\overrightarrow{OG}=(\vec{a}+\vec{b})/3$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=\frac{4\vec{a}-\vec{b}}9=\frac{4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}9.$$ さらに $$\displaystyle GH^2=\frac{|4\vec{a}-\vec{b}|^2}{81}=\frac{16|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-8\vec{a}\cdot\vec{b}}{81}=\frac{57}{81},$$ より $GH=\sqrt{57}/9$。

(3) $\displaystyle F(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\log(1+x)$ とおく。$x\geq0$ で定義され、$F(0)=0$ である。また $x>0$ では $$\displaystyle F'(x)=1-x+x^2-\frac1{1+x}=\frac{x^3}{1+x}>0.$$ したがって $F$ は $x\ge0$ で増加し、$x>0$ なら $F(x)>F(0)=0$。これは求める不等式である。

(4) $t=a+b-x$ と置換すると、$x=a$ のとき $t=b$、$x=b$ のとき $t=a$、$dx=-dt$ である。よって $$\displaystyle \int_a^b f(a+b-x)\,dx=\int_b^a f(t)(-dt)=\int_a^b f(t)\,dt,$$ となり、示された。$$\displaystyle I=\int_1^2\frac{x^2}{x^2+(3-x)^2}\,dx$$ とおく。$1\le x\le2$ で分母は正であり、$\displaystyle g(x)=\dfrac{x^2}{x^2+(3-x)^2}$ とすると $g(x)+g(3-x)=1$。上で示した積分の対称性を使えば $\displaystyle \int_1^2g(3-x)\,dx=\int_1^2g(x)\,dx=I$ なので、 $$\displaystyle 2I=\int_1^2\{g(x)+g(3-x)\}\,dx=\int_1^2 1\,dx=1.$$ したがって $I=1/2$。

各小問の導出を確認した。(1) $c_n=n(m+1-n)$を平方完成し、整数nの頂点近傍で最大となることを確認。(2)辺長から$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$、垂足Hと重心Gのベクトル差および長さを算出。(3)差関数の導関数$\displaystyle \frac{x^3}{1+x}>0$を確認。(4)置換$t=a+b-x$と$g(x)+g(3-x)=1$から積分値を$\displaystyle \frac12$と確認。