1名古屋大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\alpha$は中心1、半径1の円周上にあるので$|\alpha-1|=1$。両辺を2乗すれば $$(\alpha-1)(\bar\alpha-1)=1\text{すなわち} \alpha\bar\alpha-\alpha-\bar\alpha=0.$$ 従って$\boxed{\alpha+\bar\alpha=\alpha\bar\alpha}$である。

(2)

(1)と同様に$\beta+\bar\beta=\beta\bar\beta=u$となる。よって根を2組に分けると $$\begin{aligned} &(x-\alpha)(x-\bar\alpha)(x-\beta)(x-\bar\beta)\\ &=(x^2-tx+t)(x^2-ux+u)\\ &=x^4-(t+u)x^3+(t+u+tu)x^2-2tu x+tu. \end{aligned}$$ 係数を比較して $$\boxed{p=t+u,\quad q=t+u+tu,\quad r=2tu,\quad s=tu}.$$

(3)：$t,u$の条件

4解は相異なるので、$\alpha,\beta$は実数ではない。円周上の点の実部は0から2の間にあり、実数となる両端は許されないため $$0<t=2\operatorname{Re}\alpha<4,\qquad0<u<4.$$ また$t=u$なら二次式$x^2-tx+t$と$x^2-ux+u$が同じになり、4解が相異ならない。従って$t\ne u$である。 逆に$0<t,u<4$、$t\ne u$を取ると、それぞれの二次式の判別式$t^2-4t,u^2-4u$は負であり、各々が異なる非実共役解をもつ。 $x^2-tx+t=0$の解$\alpha$について、実係数と解と係数の関係から$\alpha+\bar\alpha=\alpha\bar\alpha=t$なので$|\alpha-1|^2=1$。$u$についても同様である。 さらに両二次式に共通根$z$があれば差を取って$(u-t)(z-1)=0$、従って$z=1$だが、$1^2-t+t=1\ne0$で矛盾する。よって4解は相異なる。 従って$t,u$の必要十分条件は$0<t,u<4,t\ne u$である。

(3)：$(p,s)$の条件と図

$p=t+u,s=tu$より $$0<p<8,\qquad s>0,\qquad p^2-4s=(t-u)^2>0,$$ $$16-4p+s=(4-t)(4-u)>0.$$ 従って求める範囲は $$\displaystyle \boxed{0<p<8,\qquad\max\{0,4p-16\}<s<\frac{p^2}{4}}.$$ これらの不等式が十分であることも確認する。 二次方程式$X^2-pX+s=0$は判別式が正なので異なる実根$t,u$をもつ。$s>0,p>0$より両根は正である。 $(4-t)(4-u)>0$だから両根がともに4未満か、ともに4より大きいかである。後者は$p=t+u<8$に反するので$0<t,u<4$となる。これで十分性も示された。 図の着色部分が答えであり、境界はすべて含まない。特に$p=4$上は$0<s<4$を含むが、端の$(4,0),(4,4)$は含まない。