4名古屋大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $P_n(1)$ を、定義による積の形と展開形の両方で計算する。すると $$\displaystyle P_n(1)=1\cdot2\cdots n=n!,\qquad P_n(1)=\sum\limits _{m=1}^n{}_nB_m.$$ 従って $\displaystyle \sum\limits _{m=1}^n{}_nB_m=n!$。

(2) 展開式の $x$ に $x+1$ を代入し、各項に二項定理を用いると $$\displaystyle P_n(x+1)=\sum\limits _{m=1}^n{}_nB_m(x+1)^m =\sum\limits _{m=1}^n{}_nB_m\sum\limits _{k=0}^m{}_mC_kx^k,$$ となり、示された。

(3) 積の定義から $$P_{n+1}(x)=x(x+1)\cdots(x+n)=xP_n(x+1).$$ 一方、展開式より $$\displaystyle P_{n+1}(x)=\sum\limits _{m=1}^{n+1}{}_{n+1}B_mx^m, \qquad P_n(x+1)=\sum\limits _{m=1}^n{}_nB_m\sum\limits _{k=0}^m{}_mC_kx^k.$$ 従って $x^k$（$1\le k\le n$）の係数を比べる。左辺の $P_n(x+1)$ での係数は、$m\ge k$ の項から生じる $$\displaystyle \sum\limits _{j=k}^n{}_nB_j\,{}_jC_k,$$ である。また $P_n(x+1)=P_{n+1}(x)/x$ の係数表示では $x^k$ の係数は ${}_{n+1}B_{k+1}$。よって $$\displaystyle \sum\limits _{j=k}^n{}_nB_j\,{}_jC_k={}_{n+1}B_{k+1},$$ が成り立つ。