3名古屋大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x=-t\ (t>0)\text{ とおくと、方程式は }e^{-t}=\dfrac{2t^3}{t+1}\text{ となる。両辺は正なので対数を取って同値な} \phi(t)=t+\log\dfrac{2t^3}{t+1}=0\text{ を得る。} \phi'(t)=1+\dfrac3t-\dfrac1{t+1}=1+\dfrac{2t+3}{t(t+1)}>0\quad(t>0). \lim\limits _{t\to0+}\phi(t)=-\infty,\qquad \lim\limits _{t\to\infty}\phi(t)=\infty. \text{したがってこの方程式は正の }t\text{ をただ1つもち、元の負の実数解も1個である。} \text{(2) }x=-t\ (t>0)\text{ とすると、共有点条件は }H(t)=3t-t^3-e^{-t}=0\text{ である。} t\ge\sqrt3\text{ では }3t-t^3\le0<e^{-t}\text{ なので解はない。}\text{また }H(0)=-1<0,\ H(1)=2-e^{-1}>0,\ H(\sqrt3)=-e^{-\sqrt3}<0. H''(t)=-6t-e^{-t}<0\text{ より }H'(t)\text{ は減少し、異なる }t\text{ に対して同じ値をとらず、}H'(0)=4>0,\ H'(\sqrt3)=-6+e^{-\sqrt3}<0\text{ から }H'\text{ はただ1度符号を変える。} \text{よって }H\text{ は一度だけ増加から減少に転じる。上記の符号と中間値の定理から、増加区間と減少区間にそれぞれ1つずつ零点があり、共有点は2個である。} \text{(3) }x=-t\ (t>0)\text{ と置くと、共有点条件 }t(a-t^2)=e^{-t}\text{ は} a=A(t):=t^2+\dfrac{e^{-t}}t\text{ と同値である。} A'(t)=2t-\dfrac{e^{-t}(t+1)}{t^2},\quad\operatorname{sgn}A'(t)=\operatorname{sgn}\left(\dfrac{2t^3e^t}{t+1}-1\right). K(t):=\dfrac{2t^3e^t}{t+1}\text{ とすると、} (\log K(t))'=\dfrac3t+1-\dfrac1{t+1}=1+\dfrac{2t+3}{t(t+1)}>0,\quad\lim\limits _{t\to0+}K(t)=0,\quad\lim\limits _{t\to\infty}K(t)=\infty. \text{ゆえに }K(\alpha)=1\text{ となる正の }\alpha\text{ はただ1つであり、}A\text{ は }0<t<\alpha\text{ で減少し、}t>\alpha\text{ で増加する。} \lim\limits _{t\to0+}A(t)=\lim\limits _{t\to\infty}A(t)=\infty\text{ だから、}A\text{ は }t=\alpha\text{ でただ1つの最小値をとる。水平線 }a=A(\alpha)\text{ はグラフとただ1点で交わり、他の }a>0\text{ では交点数は0個または2個である。} K(\alpha)=1\text{ より }e^{-\alpha}=\dfrac{2\alpha^3}{\alpha+1}\text{ なので、} a=A(\alpha)=\alpha^2+\dfrac{e^{-\alpha}}\alpha=\dfrac{\alpha^2(\alpha+3)}{\alpha+1}.\text{以上で条件を満たす }a\text{ がただ1つ存在する。}$$