6東北大学 2009年 数学 第6問解答・解説

左側 $x<0$. 方程式は $$x^2+(2a-2)x-(8a+1)=0$$ で、根の積は $-(8a+1)$、和は $2-2a$ である。$a>-1/8$ なら積が負なので負の根がちょうど1個ある。$a=-1/8$ では根は $0,5/4$ で、$x<0$ の根はない。$a<-1/8$ では積と和がともに正であるため、実根があれば両方正である。よって $$N_L=\begin{cases}0 &(a\le-1/8),\\1 &(a>-1/8).\end{cases}$$

中央 $0\le x\le2$. 方程式に $-1$ を掛けて $$Q(x)=x^2-(6a+2)x+8a+1=0$$ とする。判別式は $D=4a(9a-2)$、端点値は $Q(0)=8a+1$, $Q(2)=1-4a$、頂点の $x$ 座標は $1+3a$ である。これらから、中央区間の相異なる解の個数は $$\begin{array}{c|c} a&N_M\\\hline a<-1/8&1\\ a=-1/8&2\\ -1/8<a<0&2\\ a=0&1\\ 0<a<2/9&0\\ a=2/9&1\\ 2/9<a<1/4&2\\ a=1/4&2\\ a>1/4&1 \end{array}$$ となる。例えば $-1/8<a<0$ では $D>0$, $Q(0),Q(2)>0$ で頂点が $(0,2)$ 内にあるため、二根とも区間内にある。$2/9<a<1/4$ も同様である。$a<-1/8$ と $a>1/4$ では端点値の符号が異なるため区間内に一根だけある。境界では $$Q(x)=x(x-5/4)\ (a=-1/8),\quad (x-1)^2\ (a=0),\quad (x-5/3)^2\ (a=2/9),\quad (x-3/2)(x-2)\ (a=1/4),$$ となる。

右側 $x>2$. $t=x-2>0$ とおくと $$t^2+2(1-a)t+4a-1=0.$$ 根の積、和、判別式はそれぞれ $4a-1$, $2a-2$, $4(a^2-6a+2)$ である。$a<1/4$ なら積が負なので正の根は1個。$a=1/4$ では根は $0,-3/2$ で正の根はない。$1/4<a<1$ では、実根があれば積が正・和が負より両方負である。$1\le a<3+\sqrt7$ では判別式が負である。$a=3+\sqrt7$ では正の重根が1個、$a>3+\sqrt7$ では異なる正の根が2個となる。したがって $$N_R=\begin{cases}1 &(a<1/4),\\0 &(1/4\le a<3+\sqrt7),\\1 &(a=3+\sqrt7),\\2 &(a>3+\sqrt7).\end{cases}$$

各区間の根数を合わせると $$\begin{array}{c|rrrr} a&N_L&N_M&N_R&\text{合計}\\\hline a<-1/8&0&1&1&2\\ a=-1/8&0&2&1&3\\ -1/8<a<0&1&2&1&4\\ a=0&1&1&1&3\\ 0<a<2/9&1&0&1&2\\ a=2/9&1&1&1&3\\ 2/9<a<1/4&1&2&1&4\\ a=1/4&1&2&0&3\\ 1/4<a<3+\sqrt7&1&1&0&2\\ a=3+\sqrt7&1&1&1&3\\ a>3+\sqrt7&1&1&2&4 \end{array}$$ となる。重根は一つの相異なる解として数え、$x=0,2$ は中央区間だけで数えた。したがって求める範囲は $$\displaystyle \boxed{-\frac18<a<0\quad\text{または}\quad\frac29<a<\frac14\quad\text{または}\quad a>3+\sqrt7}.$$