3東北大学 2009年 数学 第3問解答・解説

赤玉が出る位置集合は $\displaystyle \binom{10}{3}=120$ 通りで、どの集合も同じ確率である。

(1) 4回目に初めて赤玉が出るには、4回目を赤に固定し、残り2個の位置を5〜10回目から選ぶ。したがって $$\displaystyle P=\frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{15}{120}=\frac18.$$

(2) 8回目終了時までに赤玉が全て出ることは、赤玉3個の位置が全て1〜8回目にあることと同値である。よって $$\displaystyle P=\frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{56}{120}=\frac7{15}.$$

(3) ちょうど8回目に最後の赤玉が出るには、8回目を赤に固定し、残り2個の位置を1〜7回目から選べばよい。したがって $$\displaystyle P=\frac{\binom{7}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{21}{120}=\frac7{40}.$$

(4) $j$ 回目に赤玉が出れば $I_j=1$、白玉なら $I_j=0$ とする。各回で $E[I_j]=3/10$ なので、期待値の線形性から $$\displaystyle E\left[\sum\limits _{j=1}^4 I_j\right]=\sum\limits _{j=1}^4E[I_j]=4\cdot\frac3{10}=\frac65.$$

赤玉が出る位置を選ぶ方法を等確率に数える。各事象は位置条件へ置き換え、期待値は4個の指示変数の和の期待値として求める。