2徳島大学 2009年 数学 第2問解答・解説

1試合ごとの勝敗を独立に考え、($\displaystyle p=\frac23$)、($\displaystyle q=\frac13$) とする。

(1) $(R_k)$ に至るときは、$(3+k)$ 試合中にAが3勝、Bが $(k)$ 勝をしている。したがって $$\displaystyle \#(O\to R_k)=\binom{3+k}{3},$$ より $(R_0,R_1,R_2)$ への場合の数はそれぞれ $(1,4,10)$ 通りである。$(D_3)$ では6試合中Aが3勝するので $$\displaystyle \#(O\to D_3)=\binom63=20$$ 通り。

(2) $(A)$ が4勝 $(k)$ 敗で優勝するには、最後の試合がAの勝ちで、その直前までに $(R_k)$ に至る。従ってその確率は $$\displaystyle \binom{3+k}{3}p^3q^k\,p=\binom{3+k}{3}\left(\frac23\right)^4\left(\frac13\right)^k.$$ $(k=0,1,2)$ の順に $$\displaystyle \frac{16}{81},\qquad \frac{64}{243},\qquad \frac{160}{729}.$$

(3) 3勝3敗までにAが先に4勝する確率は、(2)の和より $$\displaystyle \frac{16}{81}+\frac{64}{243}+\frac{160}{729}=\frac{496}{729}.$$ $(D_3)$ に至る確率は $$\displaystyle \binom63p^3q^3=20\cdot\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^3=\frac{160}{729}.$$ $(D_3)$ 以後、2試合がともにAの勝ちならAが優勝し、ともにBの勝ちならAは敗れる。異なる勝者なら再び3勝3敗に戻る。$(D_3)$ からAが最終的に優勝する確率を $(w)$ とすると $$\displaystyle w=p^2+2pq\,w, \qquad w=\frac{p^2}{1-2pq}=\frac{p^2}{p^2+q^2}=\frac45.$$ よって全体でAが優勝する確率は $$\displaystyle \frac{496}{729}+\frac{160}{729}\cdot\frac45 =\boxed{\frac{208}{243}}.$$ (2)の3確率の和は $\displaystyle (\frac{496}{729})$、残りのB優勝確率は $\displaystyle \left(\frac{105}{729}=\frac{35}{243}\right)$ で、両者の和は1となる。