1徳島大学 2009年 数学 第1問解答・解説

極方程式は $$\displaystyle r=\frac{3}{2+\sin\theta}$$ である。$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とする。

(1) $r>0$ なので、極方程式は $$2r+y=3$$ と書ける。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ より $$2\sqrt{x^2+y^2}+y=3.$$ 両辺を平方すると $$4x^2+4y^2=(3-y)^2,$$ したがって $$\displaystyle 4x^2+3(y+1)^2=12, \qquad\text{すなわち}\qquad \boxed{\frac{x^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1}.$$ この楕円では $-3\leq y\leq1$ だから $3-y>0$ であり、平方による余分な点は生じない。概形は、中心 $(0,-1)$、横半径 $\sqrt3$、縦半径 $2$ の楕円で、$y$ 軸対称である。軸との交点は $$\displaystyle \left(\pm\frac32,0\right),\qquad (0,1),\qquad (0,-3)$$ である。

(2) 正の $x$ 軸との交点は $P=(3/2,0)$ である。楕円の式を微分すると $$\displaystyle 8x+6(y+1)\frac{dy}{dx}=0.$$ $P$ での傾きは $-2$ なので、接線は $$\displaystyle \boxed{y=-2\left(x-\frac32\right)}, \qquad\text{すなわち}\qquad \boxed{2x+y=3}.$$

(3) 第1象限における楕円の上側は $$\displaystyle y=-1+2\sqrt{1-\frac{x^2}{3}},\qquad 0\leq x\leq\frac32$$ である。したがって求める面積 $S$ は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{3/2}\left(-1+2\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\right)dx. \end{aligned}$$ $x=\sqrt3\sin u$ と置くと、$x=0,3/2$ に対応して $u=0,\pi/3$ となるから $$\displaystyle \begin{aligned} S&=-\frac32+2\sqrt3\int_0^{\pi/3}\cos^2u\,du\\ &=-\frac32+2\sqrt3\left(\frac\pi6+\frac{\sqrt3}{8}\right)\\ &=\boxed{\frac\pi{\sqrt3}-\frac34}. \end{aligned}$$