4徳島大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$B=YX^{-1}$ とおく。第1式を左から $X$、右から $X^{-1}$ で挟むと $$YX-2YX^{-1}=I.$$ $YX=BX^2$ だから $B(X^2-2I)=I$、従って $X^2=2I+B^{-1}$ である。

第2式を左から $Y$、右から $X^{-1}$ で挟むと $$4YX+A=3B,$$ すなわち $4BX^2+A=3B$ となる。$BX^2=B(2I+B^{-1})=2B+I$ を代入すると $$\displaystyle 5B=-(A+4I),\qquad B=YX^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac35&-\frac35\\0&-\frac45\end{pmatrix}.$$ したがって $$\displaystyle X^2=2I+B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac13&\frac54\\0&\frac34\end{pmatrix}.$$

$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおいて成分を比較すると $$\displaystyle a^2+bc=\frac13,\quad b(a+d)=\frac54,\quad c(a+d)=0,\quad d^2+bc=\frac34.$$ $b(a+d)=5/4$ より $a+d\ne0$ なので $c=0$。ゆえに $a=\varepsilon/\sqrt3$, $d=\delta\sqrt3/2$（$\varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }1\text{ または }-1$）であり、 $$\displaystyle b=\frac{5}{4(a+d)}=\frac{5\sqrt3}{2(2\varepsilon+3\delta)}.$$ 4通りの符号から得る $X$ は $$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&\frac{\sqrt3}2\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&-\frac{5\sqrt3}2\\0&-\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt3}&\frac{5\sqrt3}2\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt3}&-\frac{\sqrt3}2\\0&-\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}.$$ 各行列は可逆である。それぞれについて $Y=BX$ と定めれば、上の変形を逆にたどって元の2式を満たす。成分比較で他の平方根がないことも示したので、これら4個がすべての解である。