2群馬大学 2009年 数学 第2問解答・解説

$A^2=E$ を成分ごとに書くと $$a^2+bc=1,\qquad b(a+d)=0,\qquad c(a+d)=0,\qquad d^2+bc=1.$$ また、元の直線上の点 $(x,2x+1)$ の像を $(x',y')$ とすると $$x'=(a+2b)x+b,\qquad y'=(c+2d)x+d.$$ これが直線 $y'=2x'+k$ 上を動くための条件は $$c+2d=2a+4b,\qquad k=d-2b.$$

まず $a+d\ne0$ と仮定すると、$b(a+d)=c(a+d)=0$ から $b=c=0$ であり、$a^2=d^2=1$ となる。直線の傾きの条件は $2d=2a$ だから $a=d$、従って $A=E$ または $A=-E$ である。$A=E$ なら $k=1$ となり条件に反し、$A=-E$ は仮定で除かれている。よってこの場合は起こらず、$a+d=0$ である。

そこで $d=-a$ とおくと、傾きの条件から $$c-2a=2a+4b,\qquad c=4(a+b).$$ これを $a^2+bc=1$ に代入すると $$a^2+4b(a+b)=1\quad\text{すなわち}\quad(a+2b)^2=1.$$ 一方 $k=d-2b=-a-2b$ であるから、$k\ne1$ より $a+2b=1$、従って $k=-1$ である。よって $$a=1-2b,\qquad c=4-4b,\qquad d=2b-1.$$ これらを成分条件に代入すると任意の実数 $b$ について $A^2=E$ が成り立ち、$a+d=0$ なので $A\ne-E$ である。また像の式は $x'=x+b$, $y'=2x+2b-1=2x'-1$ となり、確かに直線 $y=2x-1$ に移る。