5群馬大学 2009年 数学 第5問解答・解説

$n!$ の末尾の $0$ は因数 $10=2\cdot5$ の組の個数である。$n!$ に含まれる素因数 $p$ の個数を $v_p(n!)$ とすると、倍数を数え上げることで $$\displaystyle v_p(n!)=\left\lfloor\frac np\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{p^3}\right\rfloor+\cdots$$ となる。各 $j\ge1$ について $2^j<5^j$ なので $$\displaystyle \left\lfloor\frac n{2^j}\right\rfloor\ge\left\lfloor\frac n{5^j}\right\rfloor,$$ したがって $v_2(n!)\ge v_5(n!)$。よって末尾の $0$ の個数は $$\displaystyle a_n=v_5(n!)=\sum\limits _{j\ge1}\left\lfloor\frac n{5^j}\right\rfloor$$ である。

(1) $n=5^k$ のとき、$1\le j\le k$ では $\lfloor 5^k/5^j\rfloor=5^{k-j}$、$j>k$ では $0$ だから $$\displaystyle a_{5^k}=5^{k-1}+5^{k-2}+\cdots+5+1 =\frac{5^k-1}{5-1} =\boxed{\frac{5^k-1}{4}}.$$

(2) $$\displaystyle a_{2009} =\left\lfloor\frac{2009}{5}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2009}{25}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2009}{125}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2009}{625}\right\rfloor =401+80+16+3 =\boxed{500}.$$