群馬大学 2009年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

群馬大学2009年度第1問

$\displaystyle \left(x-\frac{x^{2}}{2}+y^{2}-2y^{3}\right)^{10}$ を展開して得られる x, y の多項式について, 次数が 12 である項の係数の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle -\frac{35}{4}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

多項式を $\displaystyle F(x,y)=\sum\limits _{i,j}c_{ij}x^iy^j$ とすると、 $\displaystyle F(z,z)=\sum\limits _{i,j}c_{ij}z^{i+j}$ である。したがって求める係数和は $F(z,z)$ の $z^{12}$ の係数である。 $\displaystyle F(z,z)=\left(z-\frac{z^2}{2}+z^2-2z^3\right)^{10} =z^{10}\left(1+\frac z2-2z^2\right)^{10}.$ よって求める値は $\displaystyle [z^2]\left(1+\frac z2-2z^2\right)^{10} =\binom{10}{2}\left(\frac12\right)^2+\binom{10}{1}(-2) =\frac{45}{4}-20=-\frac{35}{4}.$

この問題で使う考え方

二項定理

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