21自治医科大学 2010年 数学 第21問解答・解説

二項定理で $x^k$ の係数を $c_k$ とおくと $$\displaystyle c_k=\binom{21}{k}2^{21-k}\quad(0\le k\le21).$$ 隣り合う係数の比は $$\displaystyle \frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{21-k}{2(k+1)}.$$ $k\le6$ では $21-k>2(k+1)$ なのでこの比は1より大きい。一方、$k\ge7$ では $21-k<2(k+1)$ なので1より小さい。したがって係数は $k=7$ まで増加し、その後減少する。最大となるのは $x^7$ の係数であり、$a=7$。