14自治医科大学 2010年 数学 第14問解答・解説

円の中心を $O=(6,0)$ とし、直線 $L:y=ax$ と $O$ の距離を $d$ とおく。条件 $a>0$ より、$$\displaystyle d=\frac{6a}{\sqrt{1+a^2}}.$$ 交点が相異なる2点なので $0<d<5$ である。中心から弦 $PQ$ に下ろした垂線は弦を二等分するため、$PQ=2\sqrt{25-d^2}$。したがって三角形の面積 $S$ は $$\displaystyle S=\frac12\,PQ\,d=d\sqrt{25-d^2}.$$ ここで $u=d^2$ とすると $0<u<25$ であり、$$\displaystyle S^2=u(25-u)=\frac{625}{4}-\left(u-\frac{25}{2}\right)^2.$$ よって最大値は $\displaystyle u=\frac{25}{2}$ のときに得られる。この値は実現可能で、$$\displaystyle \frac{36a^2}{1+a^2}=\frac{25}{2}\quad\text{より}\quad 47a^2=25.$$ $a>0$ より $\displaystyle A=\frac{5}{\sqrt{47}}$ である。したがって $\sqrt{47}A=5$。