自治医科大学／1/25
2010年度の数学自治医科大学・全25問
- 1多項式 x⁴-2x³+ax²+bx+68 （ a,b は実数）が x²-x-2 で割り切れるとき、 a+b の値を求めよ。 選択肢（丸囲み記号と数字）： ア=0, カ=1, サ=2, タ=3,…
- 23次方程式 x³+x²-4x+6=0 の解を α,β,γ とするとき、 α³+β³+γ³-3αβγ+20 の値を求めよ。
- 3a+b+c=0, a²+b²+c²=2 であるとき、 a²b²+b²c²+c²a² の値を求めよ。ただし、 a,b,c は実数とする。
- 4方程式 2(3^x+3^(-x))-5(9^x+9^(-x))+6=0 の解を求めよ。
- 5log2 x+a+c 2=0 の2つの解は 14, 8 であり、 log2 x+b+d 2=0 の2つの解は 12, 4 となる。 log2 x+b+c 2=0 の2つの解のうち、大きいほうの…
- 63次方程式 x³+ax²+bx-8=0 （ a,b は実数）の1つの解が (3- 7 i)/2 （ i²=-1 ）であるとき、 a+b の値を求めよ。
- 7p が奇数のとき、 ((1+i)/ 2 )^(2p)+ ((1-i)/ 2 )^(2p) の値を求めよ。ただし、 i²=-1 である。
- 8x=(1+a²)/2a （ a≥1, a は実数）であるとき、 a ((√x+1-√x-1)/(√x+1+√x-1) ) の値を求めよ。
- 93直線 x+y+4=0 、 5x+y+a=0 （ a は実数）、 3x-y+b=0 （ b は実数）の異なる3つの交点によって作られる三角形の重心の座標が (-1,1) であるとき、 a+b …
- 102直線 x+y-5=0 、 ( 3-2)x-y-4 3=0 のなす角を θ とする（ 0≤θ≤π/2 ）。 π/θ の値を求めよ。
- 11三角形の3辺の中点が (-2,-1) 、 (3,2) 、 (-1,5) であるとき、この三角形の3つの頂点のうち、最も大きい y 座標をもつ頂点の y 座標の値を求めよ。
- 12直線 y-2x+m=0 （ m は実数）と円 x²+y²+2x+6y+6=0 が相異なる2点で交わるためには、 m のとりうる範囲は a<m<b とならなければならない。 ((b-a)²)/1…
- 132つの円 x²+y²+4x-13+a=0 （ a は実数）、 x²+y²-2x+4y+1=0 が外接するとき、 a²/26 の値を求めよ。
- 14円 C:(x-6)²+y²=25 と直線 L:y=ax （ a は実数、 a>0 ）について考える。 C と L の2つの相異なる交点を P,Q とする。 C の中心と P,Q でつくる三角形…
- 15関数 y=2cos² x+2sin x+a (0≤ x≤2π) （ a は実数）の最小値が -3 となるとき、 a² の値を求めよ。
- 16連立方程式 x+y=8, cosθ-xsinθ=x, sinθ+ycosθ=1 を満たす y の解は2つある。その2つの解を α,β とするとき、 |α-β| の値を求めよ。ただし、 x,y …
- 17三角形 ABC において、辺 BC,AC,AB の長さを、それぞれ a,b,c とし、 ∠ A,∠ B,∠ C の大きさを、それぞれ A,B,C で表すものとする。 a=2(b-c) /2 で…
- 18三角形 ABC において、辺 BC,AC,AB の長さを、それぞれ a,b,1 とし、 ∠ A,∠ B,∠ C の大きさを、それぞれ A,B,C で表すものとする。 sin² A=sin²B/…
- 19A の箱に赤玉6個と青玉3個、 B の箱に赤玉9個と青玉4個、 C の箱に赤玉 a 個と青玉9個が入っている。 A,B,C それぞれの箱から玉を1個ずつ取り出すとき、その3個の玉のうちの1個の…
- 201個のサイコロを4回ふるとき、目の和が23以上になる確率を p とし、目の和が22以上になる確率を q とする。 q/p の値を求めよ。
- 21(2+x)²¹ において x^a の項の係数が最大になるという。 a の値を求めよ。
- 22表面積が 150π の円柱のうち、体積が最大となる円柱の底面の半径を r とするとき、 r の値を求めよ。ただし、円柱の表面積は、2つの底面および側面の面積の総和である。
- 23放物線 C:y=x²-4x+6 と直線 L:y=x+2 について考える。直線 L 、放物線 C 、 C の軸、 x 軸、 y 軸のすべてで囲まれる面積を S とする。 (6S-20) の値を求…
- 24関数 f(x)=x³-px²+(p²-2p)x+q （ p>0, q>0 、 p および q は整数とする）について考える。 f(x)=0 が1つの負の実数解と相異なる2つの正の実数解をもつと…
- 252つの放物線 C1:y=-2x²+10x 、 C2:y=x²-2x について考える。 C1 と C2 の相異なる2つの交点を P,Q とする。直線 PQ に平行で C1 に接する直線を L と…