自治医科大学 2010年数学第11問解答・解説

図形と方程式

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1問題

自治医科大学2010年度第11問

三角形の3辺の中点が $(-2,-1)$ 、 $(3,2)$ 、 $(-1,5)$ であるとき、この三角形の3つの頂点のうち、最も大きい $y$ 座標をもつ頂点の $y$ 座標の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

辺の中点の座標関係を逆に用いて三頂点を復元する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4解答

解答を見る途中式つきの解答

3辺の中点を、順に辺 $AB,BC,CA$ の中点 $M_1,M_2,M_3$ とおく。頂点の位置ベクトルを $A,B,C$ と表せば、 $\displaystyle M_1=\frac{A+B}{2},\qquad M_2=\frac{B+C}{2},\qquad M_3=\frac{C+A}{2}.$ したがって $A=M_1+M_3-M_2$ 、 $B=M_1+M_2-M_3$ 、 $C=M_2+M_3-M_1$ である。与えられた中点を代入すると、 $A=(-6,2),\qquad B=(2,-4),\qquad C=(4,8).$ よって頂点の $y$ 座標は $2,-4,8$ であり、その最大値は $8$ である。

この問題で使う考え方

内分・外分点

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