自治医科大学 2010年数学第20問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

自治医科大学2010年度第20問

1個のサイコロを4回ふるとき、目の和が23以上になる確率を $p$ とし、目の和が22以上になる確率を $q$ とする。 $\displaystyle \frac{q}{p}$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

4個の出目の最大和24からの不足分を場合分けして数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4解答

解答を見る途中式つきの解答

4回の出目の和の最大値は $24$ である。各出目 $x_i$ について $6-x_i$ を不足分とすると、和が $24$ 、 $23$ 、 $22$ のときの不足分の合計はそれぞれ $0$ 、 $1$ 、 $2$ となる。和が $23$ となるのは、4個の出目のうち1個だけが5で他が6の場合なので4通り。和が $24$ となるのは1通りである。したがって $p=5/6^4$ 。和が $22$ の場合は、1個だけ4で他が6の4通り、または2個が5で他が6の ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通りで、計10通り。よって $q=(10+4+1)/6^4=15/6^4$ 。以上から $\displaystyle \frac qp=\frac{15}{5}=3.$

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則

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