13自治医科大学 2010年 数学 第13問解答・解説

第1の円は $(x+2)^2+y^2=17-a$ と表せるから、中心は $(-2,0)$、半径は $\sqrt{17-a}$ である。第2の円は $(x-1)^2+(y+2)^2=4$ であり、中心は $(1,-2)$、半径は $2$ である。中心間の距離は $\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$ である。外接する条件より、$$\sqrt{17-a}+2=\sqrt{13}.$$ ここで $\sqrt{13}>2$ なので、$\sqrt{17-a}=\sqrt{13}-2>0$ である。両辺を2乗すると、$$17-a=(\sqrt{13}-2)^2=17-4\sqrt{13},$$ よって $a=4\sqrt{13}$ となる。したがって $$\displaystyle \frac{a^2}{26}=\frac{16\cdot13}{26}=8.$$