1自治医科大学 2010年 数学 第1問解答・解説

$P(x)=x^4-2x^3+ax^2+bx+68$ とおく。$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ だから、$P(x)$ が $x^2-x-2$ で割り切れるための必要十分条件は $P(2)=P(-1)=0$ である。 $$P(2)=4a+2b+68=0,\qquad P(-1)=a-b+71=0.$$ 第1式を2で割ると $2a+b=-34$ であり、これと $a-b=-71$ を加えて $3a=-105$、よって $a=-35$。これを $a-b=-71$ に代入して $b=36$ を得る。したがって $$a+b=-35+36=1.$$ 実際、$P(x)=(x^2-x-2)(x^2-x-34)$ となるので、割り切れることも確認できる。