3徳島大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 曲線 (C) を $x=t,\quad y=t^2-1$ と媒介変数表示する。このとき接ベクトルは $(1,2t)$ である。法線はこのベクトルに垂直だから、点 $A(t,t^2-1)$ を通る法線は $$(x-t)+2t\{y-(t^2-1)\}=0,$$ すなわち $$\boxed{x+2ty=2t^3-t}$$ である。この式は $t=0$ のときも $x=0$ を表す。

(2) $P=(u,u^2)$ とおく。(1)の法線上に (P) がある条件は $$u+2tu^2=2t^3-t,$$ すなわち $$g(t)=2t^3-(2u^2+1)t-u=0$$ である。法線の式では $x$ の係数を (1) にそろえてあるので、異なる $t$ は異なる法線を表す。したがって、求める条件はこの三次方程式が異なる実数解をちょうど2個もつことである。

異なる実数解がちょうど2個なら、三次式の因数分解では一方の解が重解となる。重解を (c) とすると $g(c)=g^{\prime}(c)=0$ である。ここから $$2u^2+1=6c^2,\qquad u=-4c^3$$ を得る。第2式を第1式に代入し、$z=c^2,\quad z\ge0$ とおくと $$\displaystyle 32z^3-6z+1=4\left(z-\frac14\right)\left(4z-1\right)(2z+1)=0.$$ $z\ge0$ では $2z+1>0$ であり、残りの積が0となるのは $\displaystyle z=\frac14$ のときに限る。よって $\displaystyle c=\pm\frac12$ であり、$u=-4c^3$ から $\displaystyle u=\mp\frac12$ を得る。

実際、$\displaystyle u=\frac12$ のとき $$2g(t)=4t^3-3t-1=(t-1)(2t+1)^2,$$ なので異なる実数解は $\displaystyle t=1,-\frac12$ の2個である。また $\displaystyle u=-\frac12$ のとき $$2g(t)=4t^3-3t+1=(t+1)(2t-1)^2,$$ なので異なる実数解は $\displaystyle t=-1,\frac12$ の2個である。各場合とも異なる $t$ は異なる法線を表す。したがって $$\displaystyle \boxed{P=\left(\frac12,\frac14\right),\ \left(-\frac12,\frac14\right)}$$ である。