16自治医科大学 2010年 数学 第16問解答・解説

まず $\cos\theta=0$ の場合を調べる。このとき $\sin\theta=1$ なら第2式から $x=0$、第3式は成り立つので、第1式から $y=8$ となる。一方、$\sin\theta=-1$ なら第3式が $-1=1$ となり不可能である。$\cos\theta\neq0$ の場合、$\sin\theta\neq-1$ でもあるから、第2式、第3式より$$\displaystyle x=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta},\qquad y=\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}.$$ 恒等式 $\cos^2\theta=(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$ を使うと $x=y$ となり、第1式から $x=y=4$ である。この場合は実際に解をもつ。すなわち、第2式、第3式に $x=y=4$ を代入すると、$$\cos\theta=4(1+\sin\theta),\qquad \sin\theta+4\cos\theta=1,$$ より $\displaystyle \sin\theta=-\frac{15}{17},\ \cos\theta=\frac{8}{17}$ を得る。この組は $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を満たすので実現する。したがって $y$ の2解は $8,4$ であり、$|\alpha-\beta|=4$。