15自治医科大学 2010年 数学 第15問解答・解説

$t=\sin x$ とおくと、$-1\leq t\leq1$ であり、$$2\cos^2x+2\sin x=2(1-t^2)+2t=-2t^2+2t+2.$$ この式に $2$ を加えると $$(-2t^2+2t+2)+2=2(2-t)(t+1)\geq0$$ となる。等号は $t=-1$ のときに成立し、これは範囲内の $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}$ で実現する。したがって、与えられた関数の最小値は $a-2$ である。これが $-3$ となるので $a=-1$、よって $a^2=1$。