4自治医科大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$t=3^x+3^{-x}$ とおく。$3^x>0$ であり、$u=3^x$ とすれば $$\displaystyle t=u+\frac1u\geq 2$$ である（等号は $u=1$ のとき）。また、$9^x+9^{-x}=t^2-2$ だから、与式は $$2t-5(t^2-2)+6=0,$$ すなわち $(5t+8)(t-2)=0$ となる。候補は $\displaystyle t=-\frac85,2$ だが、$t\geq2$ より $t=2$ のみである。等号成立条件から $3^x=1$、したがって $x=0$。実際、$x=0$ を元の式に代入すると $4-10+6=0$ となる。