4大阪大学 2008年 数学 第4問解答・解説

曲線の交点の $x$ 座標は $2x+2t=x+3t$ より $x=t$ である。$t<0$ であり、$t\le x\le 0$ では $x-t\ge 0$ だから $2^{2x+2t}\ge 2^{x+3t}$ となる。したがって、回転体の断面は外半径 $2^{2x+2t}$、内半径 $2^{x+3t}$ の円環である。

(1)　 $\displaystyle V(t)=\pi\int_t^0\left((2^{2x+2t})^2-(2^{x+3t})^2\right)\,dx=\frac{\pi}{\ln2}\left\{\frac{2^{4t}-2^{8t}}4-\frac{2^{6t}-2^{8t}}2\right\}=\frac{\pi}{4\ln2}\left(2^{4t}-2\cdot2^{6t}+2^{8t}\right)=\frac{\pi}{4\ln2}2^{4t}(1-2^{2t})^2.$

(2)　 $u=2^{2t}$ とおくと、$t<0$ より $0<u<1$ であり、$\displaystyle V(t)=\dfrac{\pi}{4\ln 2}u^2(1-u)^2$ である。ここで $\displaystyle u(1-u)=\dfrac14-(u-\dfrac12)^2\le\dfrac14$ だから、$\displaystyle u^2(1-u)^2\le\dfrac1{16}$。等号は $\displaystyle u=\dfrac12$ のとき成立し、これは $\displaystyle 2^{2t}=\dfrac12$、すなわち $\displaystyle t=-\dfrac12$ に対応する。よって最大値は $\displaystyle \dfrac{\pi}{64\ln 2}$ である。