5大阪大学 2008年 数学 第5問解答・解説

$q_m$ を「最初のm投で表500連続がまだ起きていない」確率とし、$q_0=1$ とする。$n\ge501$ でn回目に初めて終了するためには、最初の $n-501$ 投で終了しておらず、$n-500$ 投目が裏、続く500投が表であることが必要十分。従って $$p(n)=2^{-501}q_{n-501}.$$

(1) $501\le n\le1000$ では $0\le n-501\le499$。500投連続を作れない長さなので $q_{n-501}=1$、よって $p(n)=2^{-501}$。

(2) $q_{501}-q_{500}$ は501投目で新たに500連続表が生じる確率の負である。501投目までに初めてそれが起きるには、1投目が裏で2〜501投が表となる必要十分条件を満たすので、この確率は $2^{-501}$。ゆえに $$p(1002)-p(1001)=2^{-501}(q_{501}-q_{500})=-2^{-1002}.$$

(3) $k=n-500$ とすれば $$p(n+1)-p(n)=2^{-501}(q_k-q_{k-1}).$$ 指定範囲 $1002\le n\le1500$ では $502\le k\le1000$。最初のk投で初めて500連続表が起こるには、投 $k-500$ が裏、続く500投が表である必要十分条件となる。先行する $k-501\le499$ 投では500連続表は作れないので、この確率は常に $2^{-501}$。したがって $q_k-q_{k-1}=-2^{-501}$ であり $$p(n+1)-p(n)=-2^{-1002}.$$