4名古屋大学 2008年 数学 第4問解答・解説

問題文は4(A),(B)の一方を選択する形式なので、両方を独立に確認した。

【4(A)】 (1) yを固定すると、xは $0\le x\le\lfloor(2008−2y)/3\rfloor$ で、y=0,…,1004。したがって $$\displaystyle N=\sum\limits _{y=0}^{1004}\left(\left\lfloor\frac{2008−2y}{3}\right\rfloor+1\right).$$ yを3で割った余りで分けると、y=3q (q=0,…,334) の寄与は $670−2q$ で合計112560、y=3q+1 (q=0,…,334) および y=3q+2 (q=0,…,334) はそれぞれ $669−2q$ で合計112225ずつ。よって $N=337010$。

(2) xを固定し $N_x=60−3x$ とおく。yを選べばzは $0\le z\le N_x−2y$ であり、yごとの個数は $N_x−2y+1$。$N_x$が偶数のx=2j (j=0,…,10) では寄与が $(31−3j)^2$、奇数のx=2j+1 (j=0,…,9) では $(29−3j)(30−3j)$。したがって $$\displaystyle N=\sum\limits _{j=0}^{10}(31−3j)^2+\sum\limits _{j=0}^{9}(29−3j)(30−3j)=3806+3300=7106.$$

【4(B)】 (1) 袋Bの赤玉数の期待値は、超幾何分布の期待値より $\displaystyle 2\cdot\frac35=\frac65$。

(2) 袋Aから3個取り出した赤玉数rの確率は $$\displaystyle P_A(0)=P_A(3)=\frac1{14},\qquad P_A(1)=P_A(2)=\frac37.$$ 袋Bから2個の赤玉をj個取り出す確率は $\displaystyle P_B(0)=\frac1{10},P_B(1)=\frac35,P_B(2)=\frac3{10}$。合計3個となる場合は(r,j)=(1,2),(2,1),(3,0)なので $$\displaystyle P=\frac37\frac3{10}+\frac37\frac35+\frac1{14}\frac1{10}=\frac{11}{28}.$$

(3) 最初の3個で赤玉をr個得たとき、袋Aから追加で2個取り出す場合の赤玉期待値は $2(4−r)/5$、袋Bからの期待値は常に $6/5$。最適な条件付き期待値を選ぶと、r=0では袋Aから8/5個、r=1ではどちらも$\displaystyle \frac{6}{5}$個、r=2,3では袋Bから$\displaystyle \frac{6}{5}$個が期待値となる。最初の3個の赤玉も含む期待値は $$\displaystyle \sum\limits _{r=0}^3P_A(r)\left(r+\max\left\{\frac{2(4−r)}5,\frac65\right\}\right)=\frac{191}{70}.$$

(A)は各変数を順に固定して整数解の数を和として数える。(B)は超幾何分布と場合分けを使い、選択時には最初の3個で得た赤玉数に応じて追加抽出の期待値を比較する。