3名古屋大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 面積を積分で表すと $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_a^b\log x\,dx =\left[x\log x-x\right]_a^b =b\log b-b-a\log a+a,\\ T&=\int_{\log a}^{\log b}e^y\,dy=b-a. \end{aligned}$$ したがって $$S=T\text{、すなわち } b\log b-2b=a\log a-2a.$$ ここで $h(x)=x\log x-2x\ (x>1)$ とおくと、条件は $h(b)=h(a)$ である。 $$h'(x)=\log x-1$$ より、$h$ は $1<x<e$ で減少し、$x>e$ で増加する。したがって $h(e)$ が最小値。

$1<a<e$ なら $h(a)>h(e)$。$h$ は $x\ge e$ で連続かつ単調増加し、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}h(x)=\infty$$ なので、$h(b)=h(a)$ を満たす $b>e>a$ がただ一つ存在する。

$a=e$ では $b>a$ なら $h(b)>h(e)$。また $a>e$ でも $b>a$ なら $h(b)>h(a)$。よってこの場合は解がない。したがって求める範囲は $$1<a<e.$$

$\displaystyle S=\int_a^b\log x\,dx$、$\displaystyle T=\int_{\log a}^{\log b}e^y\,dy$ と表す。面積の等式は $h(b)=h(a)$、$h(x)=x\log x-2x$ に帰着する。$h$ は $1$ から $e$ まで減少し、$e$ 以降は増加して無限大へ向かうため、$b>a$ で等値をとれるのは $1<a<e$ に限る。