1名古屋大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) 行列 $A$は $$A^2+2A+2E=O$$ を満たす。したがって$A^2=-2A-2E$、$A^3=2A+4E$、$A^4=-4E$。これを条件式に代入すると $$(2a-2b+c)A+(4a-2b-2)E=O.$$ $A$と$E$は一次独立なので、係数をそれぞれ0とおく。$4a-2b-2=0$より $$b=2a-1.$$ また$2a-2b+c=0$より $$c=2b-2a=2a-2.$$

(2) 上の関係を代入して因数分解すると $$f(x)=x^4+ax^3+(2a-1)x^2+(2a-2)x+2 =(x^2+2x+2)(x^2+(a-2)x+1).$$ 実数$x$では$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$だから、正の解は$g(x)=x^2+(a-2)x+1=0$の解に限る。解の積は1なので実数解は同符号。正の解をもつための必要十分条件は、判別式が0以上で、解の和$2-a$が正となること： $$(a-2)^2-4=a(a-4)\ge0,\qquad 2-a>0.$$ 前者は$a\le0$または$a\ge4$、後者は$a<2$。共通範囲は $$a\le0.$$ $a=0$では$g(x)=(x-1)^2$となり、正の解$x=1$をもつので端点も含む。

$A$の二次関係から$A^3,A^4$を一次式に直し、行列$A$と単位行列の係数を比較して$b,c$を求める。得た係数を四次式に代入すると、常に正の二次式と、定数項1の二次式に因数分解できる。正の根の条件を判別式と根の和で判定する。