1岡山大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac12\vec a$、$\overrightarrow{OD}=t\vec b$ である。$P$ を線分 $AD$ 上で $P=(1-s)A+sD$ と表すと、$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec a+st\vec b$。一方、線分 $BC$ 上では $P=(1-u)B+uC$ だから $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{u}{2}\vec a+(1-u)\vec b$。係数比較より $$\displaystyle 1-s=\frac u2,\qquad st=1-u.$$ これを解くと $\displaystyle s=\frac1{2-t}$、$\displaystyle u=\frac{2(1-t)}{2-t}$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1-t}{2-t}\vec a+\frac{t}{2-t}\vec b.$$

(2) このとき $$\displaystyle |\overrightarrow{OP}|^2=\frac{(1-t)^2+4t^2+t(1-t)}{(2-t)^2}=\frac{1-t+4t^2}{(2-t)^2}.$$ $0<t<1$ では $2-t>0$ なので、$|\overrightarrow{OP}|\le1$ は $$1-t+4t^2\le(2-t)^2\quad\text{すなわち}\quad t^2+t-1\le0.$$ よって求める範囲は $\displaystyle 0<t\le\frac{\sqrt5-1}{2}$。

C,Dの位置ベクトルをそれぞれ表し、ADとBC上の二通りの一次表示を係数比較する。内積でOPの二乗を計算し、正の分母を払って二次不等式を解く。