4岡山大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$f(-x)=g(x)$ なので共有点は $x=0$ を中心に対称である。 $a\ge1$ で $f(a)=0<g(a)$、$f(2a)=ae^{2a}>3ae^{-2a}=g(2a)$（$e^{4a}>3$）だから、$(a,2a)$ に正の共有点が少なくとも一つある。 $a>1$ なら $x=a-1$ で $f>g$。実際、$(a-x)e^{2x}-(a+x)$ を $x=a-1$ に代入すると $e^{2(a-1)}-(2a-1)>0$ は $e^{2u}>1+2u$（$u=a-1>0$）より従う。$f(a)<g(a)$ と合わせ、$(a-1,a)$ にも正の共有点がある。よって $a>1$ では正の共有点が少なくとも2つあり、対称な負の点と0を合わせ共有点は少なくとも5個。 $a=1$ の場合、$0<x<1$ で $\displaystyle \log\frac{1+x}{1-x}-2x$ は0で0、導関数 $\displaystyle \frac{2x^2}{1-x^2}>0$ なので $f<g$、追加の根はない。$x>1$ では $\displaystyle K(x)=2x-\log\frac{x+1}{x-1}$ の導関数が $\displaystyle 2+\frac{2}{x^2-1}>0$ で、$x\to1+$ で $-\infty$、$x\to\infty$ で $+\infty$。従って $x>1$ に共有点はただ1つ。原式は $x\to -x$ で $f,g$ が入れ替わるため、負側にもただ1つあり、$x=0$ と合わせてちょうど3点。したがって $a=1$ のみ。